Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54890 / 14254
↖ ↑ ↗
← N 80.217056°
W 29.240112°		 ← 51.89 m → N 80.217056°
W 29.237366°		 →
↑
51.92 m
↓
↑
51.92 m
↓
N 80.216589°
W 29.240112°		 ← 51.89 m →
2 694 m²		 N 80.216589°
W 29.237366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418781280517578 y=0.108753204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418781280517578 × 217)
    floor (0.418781280517578 × 131072)
    floor (54890.5)     		tx = 54890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108753204345703 × 217)
    floor (0.108753204345703 × 131072)
    floor (14254.5)     		ty = 14254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54890 / 14254 ti = "17/54890/14254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54890/14254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54890 ÷ 217
    54890 ÷ 131072     		x = 0.418777465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14254 ÷ 217
    14254 ÷ 131072     		y = 0.108749389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418777465820312 × 2 - 1) × π
    -0.162445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51033623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108749389648438 × 2 - 1) × π
    0.782501220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45830008631572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51033623} λ = -0.51033623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45830008631572))-π/2
    2×atan(11.6849312728286)-π/2
    2×1.48542403666811-π/2
    2.97084807333622-1.57079632675     		φ = 1.40005175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51033623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.240112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40005175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.217056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54890 KachelY 14254 -0.51033623 1.40005175 -29.240112 80.217056
    Oben rechts KachelX + 1 54891 KachelY 14254 -0.51028830 1.40005175 -29.237366 80.217056
    Unten links KachelX 54890 KachelY + 1 14255 -0.51033623 1.40004360 -29.240112 80.216589
    Unten rechts KachelX + 1 54891 KachelY + 1 14255 -0.51028830 1.40004360 -29.237366 80.216589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40005175-1.40004360) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dl = 51.9236499999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40005175-1.40004360) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dr = 51.9236499999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51033623--0.51028830) × cos(1.40005175) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.169916145649145 × 6371000     		do = 51.8859391651103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51033623--0.51028830) × cos(1.40004360) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.169924177130477 × 6371000     		du = 51.8883916745535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40005175)-sin(1.40004360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169916145649145-0.169924177130477)×R²
    abs(-0.51028830--0.51033623)×8.03148133118881e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.03148133118881e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.03148133118881e-06×40589641000000     		ar = 2694.17101676407m²