Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54889 / 14311
↖ ↑ ↗
← N 80.190419°
W 29.242859°		 ← 52.04 m → N 80.190419°
W 29.240112°		 →
↑
52.05 m
↓
↑
52.05 m
↓
N 80.189951°
W 29.242859°		 ← 52.04 m →
2 709 m²		 N 80.189951°
W 29.240112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418773651123047 y=0.109188079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418773651123047 × 217)
    floor (0.418773651123047 × 131072)
    floor (54889.5)     		tx = 54889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109188079833984 × 217)
    floor (0.109188079833984 × 131072)
    floor (14311.5)     		ty = 14311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54889 / 14311 ti = "17/54889/14311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54889/14311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54889 ÷ 217
    54889 ÷ 131072     		x = 0.418769836425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14311 ÷ 217
    14311 ÷ 131072     		y = 0.109184265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418769836425781 × 2 - 1) × π
    -0.162460327148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51038417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109184265136719 × 2 - 1) × π
    0.781631469726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.45556768303738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51038417} λ = -0.51038417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45556768303738))-π/2
    2×atan(11.6530469086196)-π/2
    2×1.48519158413656-π/2
    2.97038316827312-1.57079632675     		φ = 1.39958684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51038417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.242859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39958684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.190419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54889 KachelY 14311 -0.51038417 1.39958684 -29.242859 80.190419
    Oben rechts KachelX + 1 54890 KachelY 14311 -0.51033623 1.39958684 -29.240112 80.190419
    Unten links KachelX 54889 KachelY + 1 14312 -0.51038417 1.39957867 -29.242859 80.189951
    Unten rechts KachelX + 1 54890 KachelY + 1 14312 -0.51033623 1.39957867 -29.240112 80.189951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39958684-1.39957867) × R
    8.17000000008505e-06 × 6371000     		dl = 52.0510700005419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39958684-1.39957867) × R
    8.17000000008505e-06 × 6371000     		dr = 52.0510700005419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51038417--0.51033623) × cos(1.39958684) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.170374276792303 × 6371000     		do = 52.0366895663405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51038417--0.51033623) × cos(1.39957867) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.170382327336497 × 6371000     		du = 52.0391484097582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39958684)-sin(1.39957867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170374276792303-0.170382327336497)×R²
    abs(-0.51033623--0.51038417)×8.05054419367179e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.05054419367179e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.05054419367179e-06×40589641000000     		ar = 2708.62936397855m²