Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54888 / 43117
↖ ↑ ↗
← N 52.300081°
W 29.245606°		 ← 186.78 m → N 52.300081°
W 29.242859°		 →
↑
186.80 m
↓
↑
186.80 m
↓
N 52.298402°
W 29.245606°		 ← 186.78 m →
34 890 m²		 N 52.298402°
W 29.242859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418766021728516 y=0.328960418701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418766021728516 × 217)
    floor (0.418766021728516 × 131072)
    floor (54888.5)     		tx = 54888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328960418701172 × 217)
    floor (0.328960418701172 × 131072)
    floor (43117.5)     		ty = 43117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54888 / 43117 ti = "17/54888/43117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54888/43117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54888 ÷ 217
    54888 ÷ 131072     		x = 0.41876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43117 ÷ 217
    43117 ÷ 131072     		y = 0.328956604003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328956604003906 × 2 - 1) × π
    0.342086791992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.07469735258204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51043211} λ = -0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07469735258204))-π/2
    2×atan(2.9291062799212)-π/2
    2×1.24180247304192-π/2
    2.48360494608383-1.57079632675     		φ = 0.91280862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91280862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.300081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54888 KachelY 43117 -0.51043211 0.91280862 -29.245606 52.300081
    Oben rechts KachelX + 1 54889 KachelY 43117 -0.51038417 0.91280862 -29.242859 52.300081
    Unten links KachelX 54888 KachelY + 1 43118 -0.51043211 0.91277930 -29.245606 52.298402
    Unten rechts KachelX + 1 54889 KachelY + 1 43118 -0.51038417 0.91277930 -29.242859 52.298402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91280862-0.91277930) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dl = 186.797719999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91280862-0.91277930) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dr = 186.797719999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51043211--0.51038417) × cos(0.91280862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611525915692817 × 6371000     		do = 186.775755329534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51043211--0.51038417) × cos(0.91277930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61154911412943 × 6371000     		du = 186.782840729203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91280862)-sin(0.91277930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611525915692817-0.61154911412943)×R²
    abs(-0.51038417--0.51043211)×2.31984366124705e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31984366124705e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31984366124705e-05×40589641000000     		ar = 34889.9470175509m²