Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54888 / 43107
↖ ↑ ↗
← N 52.316874°
W 29.245606°		 ← 186.70 m → N 52.316874°
W 29.242859°		 →
↑
186.67 m
↓
↑
186.67 m
↓
N 52.315195°
W 29.245606°		 ← 186.71 m →
34 853 m²		 N 52.315195°
W 29.242859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418766021728516 y=0.328884124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418766021728516 × 217)
    floor (0.418766021728516 × 131072)
    floor (54888.5)     		tx = 54888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328884124755859 × 217)
    floor (0.328884124755859 × 131072)
    floor (43107.5)     		ty = 43107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54888 / 43107 ti = "17/54888/43107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54888/43107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54888 ÷ 217
    54888 ÷ 131072     		x = 0.41876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43107 ÷ 217
    43107 ÷ 131072     		y = 0.328880310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328880310058594 × 2 - 1) × π
    0.342239379882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.07517672157824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51043211} λ = -0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07517672157824))-π/2
    2×atan(2.93051073925861)-π/2
    2×1.24194901852887-π/2
    2.48389803705774-1.57079632675     		φ = 0.91310171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91310171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.316874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54888 KachelY 43107 -0.51043211 0.91310171 -29.245606 52.316874
    Oben rechts KachelX + 1 54889 KachelY 43107 -0.51038417 0.91310171 -29.242859 52.316874
    Unten links KachelX 54888 KachelY + 1 43108 -0.51043211 0.91307241 -29.245606 52.315195
    Unten rechts KachelX + 1 54889 KachelY + 1 43108 -0.51038417 0.91307241 -29.242859 52.315195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91310171-0.91307241) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dl = 186.670300000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91310171-0.91307241) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dr = 186.670300000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51043211--0.51038417) × cos(0.91310171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611293989470561 × 6371000     		do = 186.704919091476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51043211--0.51038417) × cos(0.91307241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611317177333649 × 6371000     		du = 186.712001261719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91310171)-sin(0.91307241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611293989470561-0.611317177333649)×R²
    abs(-0.51038417--0.51043211)×2.31878630881921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31878630881921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31878630881921e-05×40589641000000     		ar = 34852.9242761908m²