Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54888 / 42680
↖ ↑ ↗
← N 53.028000°
W 29.245606°		 ← 183.69 m → N 53.028000°
W 29.242859°		 →
↑
183.68 m
↓
↑
183.68 m
↓
N 53.026348°
W 29.245606°		 ← 183.70 m →
33 740 m²		 N 53.026348°
W 29.242859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418766021728516 y=0.325626373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418766021728516 × 217)
    floor (0.418766021728516 × 131072)
    floor (54888.5)     		tx = 54888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325626373291016 × 217)
    floor (0.325626373291016 × 131072)
    floor (42680.5)     		ty = 42680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54888 / 42680 ti = "17/54888/42680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54888/42680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54888 ÷ 217
    54888 ÷ 131072     		x = 0.41876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42680 ÷ 217
    42680 ÷ 131072     		y = 0.32562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32562255859375 × 2 - 1) × π
    0.3487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.095645777716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51043211} λ = -0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.095645777716))-π/2
    2×atan(2.99111365438127)-π/2
    2×1.24815476272557-π/2
    2.49630952545115-1.57079632675     		φ = 0.92551320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92551320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.028000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54888 KachelY 42680 -0.51043211 0.92551320 -29.245606 53.028000
    Oben rechts KachelX + 1 54889 KachelY 42680 -0.51038417 0.92551320 -29.242859 53.028000
    Unten links KachelX 54888 KachelY + 1 42681 -0.51043211 0.92548437 -29.245606 53.026348
    Unten rechts KachelX + 1 54889 KachelY + 1 42681 -0.51038417 0.92548437 -29.242859 53.026348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92551320-0.92548437) × R
    2.88300000000907e-05 × 6371000     		dl = 183.675930000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92551320-0.92548437) × R
    2.88300000000907e-05 × 6371000     		dr = 183.675930000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51043211--0.51038417) × cos(0.92551320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601424660970567 × 6371000     		do = 183.690572131064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51043211--0.51038417) × cos(0.92548437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601447693858669 × 6371000     		du = 183.697606967957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92551320)-sin(0.92548437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601424660970567-0.601447693858669)×R²
    abs(-0.51038417--0.51043211)×2.30328881021258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30328881021258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30328881021258e-05×40589641000000     		ar = 33740.1827360186m²