Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54888 / 22984
↖ ↑ ↗
← N 47.249407°
E121.508789°		 ← 414.61 m → N 47.249407°
E121.514282°		 →
↑
414.62 m
↓
↑
414.62 m
↓
N 47.245678°
E121.508789°		 ← 414.64 m →
171 913 m²		 N 47.245678°
E121.514282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837532043457031 y=0.350715637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837532043457031 × 216)
    floor (0.837532043457031 × 65536)
    floor (54888.5)     		tx = 54888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350715637207031 × 216)
    floor (0.350715637207031 × 65536)
    floor (22984.5)     		ty = 22984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54888 / 22984 ti = "16/54888/22984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54888/22984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54888 ÷ 216
    54888 ÷ 65536     		x = 0.8375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22984 ÷ 216
    22984 ÷ 65536     		y = 0.3507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8375244140625 × 2 - 1) × π
    0.675048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.12072844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3507080078125 × 2 - 1) × π
    0.298583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.938029251765259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12072844} λ = 2.12072844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938029251765259))-π/2
    2×atan(2.55494130749415)-π/2
    2×1.19772702390328-π/2
    2.39545404780657-1.57079632675     		φ = 0.82465772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12072844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.508789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82465772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.249407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54888 KachelY 22984 2.12072844 0.82465772 121.508789 47.249407
    Oben rechts KachelX + 1 54889 KachelY 22984 2.12082431 0.82465772 121.514282 47.249407
    Unten links KachelX 54888 KachelY + 1 22985 2.12072844 0.82459264 121.508789 47.245678
    Unten rechts KachelX + 1 54889 KachelY + 1 22985 2.12082431 0.82459264 121.514282 47.245678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82465772-0.82459264) × R
    6.50800000000507e-05 × 6371000     		dl = 414.624680000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82465772-0.82459264) × R
    6.50800000000507e-05 × 6371000     		dr = 414.624680000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12072844-2.12082431) × cos(0.82465772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678808346885465 × 6371000     		do = 414.60783645155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12072844-2.12082431) × cos(0.82459264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678856134699533 × 6371000     		du = 414.637024663939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82465772)-sin(0.82459264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678808346885465-0.678856134699533)×R²
    abs(2.12082431-2.12072844)×4.77878140687782e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77878140687782e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77878140687782e-05×40589641000000     		ar = 171912.692651444m²