Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54887 / 42991
↖ ↑ ↗
← N 52.511207°
W 29.248352°		 ← 185.85 m → N 52.511207°
W 29.245606°		 →
↑
185.91 m
↓
↑
185.91 m
↓
N 52.509535°
W 29.248352°		 ← 185.85 m →
34 550 m²		 N 52.509535°
W 29.245606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418758392333984 y=0.327999114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418758392333984 × 217)
    floor (0.418758392333984 × 131072)
    floor (54887.5)     		tx = 54887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327999114990234 × 217)
    floor (0.327999114990234 × 131072)
    floor (42991.5)     		ty = 42991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54887 / 42991 ti = "17/54887/42991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54887/42991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54887 ÷ 217
    54887 ÷ 131072     		x = 0.418754577636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42991 ÷ 217
    42991 ÷ 131072     		y = 0.327995300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418754577636719 × 2 - 1) × π
    -0.162490844726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.51048004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327995300292969 × 2 - 1) × π
    0.344009399414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.08073740193417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51048004} λ = -0.51048004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08073740193417))-π/2
    2×atan(2.94685176426065)-π/2
    2×1.24364488623008-π/2
    2.48728977246016-1.57079632675     		φ = 0.91649345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51048004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.248352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91649345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.511207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54887 KachelY 42991 -0.51048004 0.91649345 -29.248352 52.511207
    Oben rechts KachelX + 1 54888 KachelY 42991 -0.51043211 0.91649345 -29.245606 52.511207
    Unten links KachelX 54887 KachelY + 1 42992 -0.51048004 0.91646427 -29.248352 52.509535
    Unten rechts KachelX + 1 54888 KachelY + 1 42992 -0.51043211 0.91646427 -29.245606 52.509535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91649345-0.91646427) × R
    2.9180000000073e-05 × 6371000     		dl = 185.905780000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91649345-0.91646427) × R
    2.9180000000073e-05 × 6371000     		dr = 185.905780000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51048004--0.51043211) × cos(0.91649345) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.608606243240924 × 6371000     		do = 185.845237906836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51048004--0.51043211) × cos(0.91646427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.608629396506284 × 6371000     		du = 185.852308034948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91649345)-sin(0.91646427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608606243240924-0.608629396506284)×R²
    abs(-0.51043211--0.51048004)×2.31532653599542e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31532653599542e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31532653599542e-05×40589641000000     		ar = 34550.3611037265m²