Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54886 / 43002
↖ ↑ ↗
← N 52.492815°
W 29.251099°		 ← 185.96 m → N 52.492815°
W 29.248352°		 →
↑
185.97 m
↓
↑
185.97 m
↓
N 52.491143°
W 29.251099°		 ← 185.97 m →
34 584 m²		 N 52.491143°
W 29.248352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418750762939453 y=0.328083038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418750762939453 × 217)
    floor (0.418750762939453 × 131072)
    floor (54886.5)     		tx = 54886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328083038330078 × 217)
    floor (0.328083038330078 × 131072)
    floor (43002.5)     		ty = 43002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54886 / 43002 ti = "17/54886/43002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54886/43002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54886 ÷ 217
    54886 ÷ 131072     		x = 0.418746948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43002 ÷ 217
    43002 ÷ 131072     		y = 0.328079223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418746948242188 × 2 - 1) × π
    -0.162506103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51052798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328079223632812 × 2 - 1) × π
    0.343841552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08021009603835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51052798} λ = -0.51052798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08021009603835))-π/2
    2×atan(2.94529828156754)-π/2
    2×1.24348439182848-π/2
    2.48696878365696-1.57079632675     		φ = 0.91617246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51052798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.251099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91617246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.492815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54886 KachelY 43002 -0.51052798 0.91617246 -29.251099 52.492815
    Oben rechts KachelX + 1 54887 KachelY 43002 -0.51048004 0.91617246 -29.248352 52.492815
    Unten links KachelX 54886 KachelY + 1 43003 -0.51052798 0.91614327 -29.251099 52.491143
    Unten rechts KachelX + 1 54887 KachelY + 1 43003 -0.51048004 0.91614327 -29.248352 52.491143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91617246-0.91614327) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dl = 185.969490000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91617246-0.91614327) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dr = 185.969490000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51052798--0.51048004) × cos(0.91617246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608860908586688 × 6371000     		do = 185.961793562039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51052798--0.51048004) × cos(0.91614327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608884064082835 × 6371000     		du = 185.968865846585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91617246)-sin(0.91614327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608860908586688-0.608884064082835)×R²
    abs(-0.51048004--0.51052798)×2.3155496147842e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3155496147842e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3155496147842e-05×40589641000000     		ar = 34583.8775253347m²