Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54885 / 43109
↖ ↑ ↗
← N 52.313516°
W 29.253845°		 ← 186.72 m → N 52.313516°
W 29.251099°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
N 52.311837°
W 29.253845°		 ← 186.73 m →
34 867 m²		 N 52.311837°
W 29.251099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418743133544922 y=0.328899383544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418743133544922 × 217)
    floor (0.418743133544922 × 131072)
    floor (54885.5)     		tx = 54885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328899383544922 × 217)
    floor (0.328899383544922 × 131072)
    floor (43109.5)     		ty = 43109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54885 / 43109 ti = "17/54885/43109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54885/43109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54885 ÷ 217
    54885 ÷ 131072     		x = 0.418739318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43109 ÷ 217
    43109 ÷ 131072     		y = 0.328895568847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418739318847656 × 2 - 1) × π
    -0.162521362304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.51057592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328895568847656 × 2 - 1) × π
    0.342208862304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.075080847779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51057592} λ = -0.51057592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.075080847779))-π/2
    2×atan(2.9302297935282)-π/2
    2×1.24191971387855-π/2
    2.48383942775711-1.57079632675     		φ = 0.91304310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51057592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.253845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91304310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.313516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54885 KachelY 43109 -0.51057592 0.91304310 -29.253845 52.313516
    Oben rechts KachelX + 1 54886 KachelY 43109 -0.51052798 0.91304310 -29.251099 52.313516
    Unten links KachelX 54885 KachelY + 1 43110 -0.51057592 0.91301379 -29.253845 52.311837
    Unten rechts KachelX + 1 54886 KachelY + 1 43110 -0.51052798 0.91301379 -29.251099 52.311837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91304310-0.91301379) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dl = 186.734009999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91304310-0.91301379) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dr = 186.734009999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51057592--0.51052798) × cos(0.91304310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611340372585606 × 6371000     		do = 186.719085688712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51057592--0.51052798) × cos(0.91301379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611363567312374 × 6371000     		du = 186.726169955299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91304310)-sin(0.91301379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611340372585606-0.611363567312374)×R²
    abs(-0.51052798--0.51057592)×2.31947267683719e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31947267683719e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31947267683719e-05×40589641000000     		ar = 34867.4650533874m²