Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54883 / 16627
↖ ↑ ↗
← N 79.045225°
W 29.259338°		 ← 58.04 m → N 79.045225°
W 29.256592°		 →
↑
58.04 m
↓
↑
58.04 m
↓
N 79.044703°
W 29.259338°		 ← 58.04 m →
3 369 m²		 N 79.044703°
W 29.256592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418727874755859 y=0.126857757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418727874755859 × 217)
    floor (0.418727874755859 × 131072)
    floor (54883.5)     		tx = 54883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126857757568359 × 217)
    floor (0.126857757568359 × 131072)
    floor (16627.5)     		ty = 16627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54883 / 16627 ti = "17/54883/16627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54883/16627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54883 ÷ 217
    54883 ÷ 131072     		x = 0.418724060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16627 ÷ 217
    16627 ÷ 131072     		y = 0.126853942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418724060058594 × 2 - 1) × π
    -0.162551879882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51067179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126853942871094 × 2 - 1) × π
    0.746292114257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.34454582351733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51067179} λ = -0.51067179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34454582351733))-π/2
    2×atan(10.4285352563442)-π/2
    2×1.47519787855775-π/2
    2.95039575711551-1.57079632675     		φ = 1.37959943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51067179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.259338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37959943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.045225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54883 KachelY 16627 -0.51067179 1.37959943 -29.259338 79.045225
    Oben rechts KachelX + 1 54884 KachelY 16627 -0.51062385 1.37959943 -29.256592 79.045225
    Unten links KachelX 54883 KachelY + 1 16628 -0.51067179 1.37959032 -29.259338 79.044703
    Unten rechts KachelX + 1 54884 KachelY + 1 16628 -0.51062385 1.37959032 -29.256592 79.044703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37959943-1.37959032) × R
    9.11000000014539e-06 × 6371000     		dl = 58.0398100009263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37959943-1.37959032) × R
    9.11000000014539e-06 × 6371000     		dr = 58.0398100009263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51067179--0.51062385) × cos(1.37959943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190034117141442 × 6371000     		do = 58.0413108531337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51067179--0.51062385) × cos(1.37959032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190043061126465 × 6371000     		du = 58.0440425763777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37959943)-sin(1.37959032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190034117141442-0.190043061126465)×R²
    abs(-0.51062385--0.51067179)×8.94398502251925e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.94398502251925e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.94398502251925e-06×40589641000000     		ar = 3368.78592863177m²