Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54881 / 14329
↖ ↑ ↗
← N 80.181993°
W 29.264832°		 ← 52.08 m → N 80.181993°
W 29.262085°		 →
↑
52.11 m
↓
↑
52.11 m
↓
N 80.181524°
W 29.264832°		 ← 52.08 m →
2 714 m²		 N 80.181524°
W 29.262085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418712615966797 y=0.109325408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418712615966797 × 217)
    floor (0.418712615966797 × 131072)
    floor (54881.5)     		tx = 54881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109325408935547 × 217)
    floor (0.109325408935547 × 131072)
    floor (14329.5)     		ty = 14329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54881 / 14329 ti = "17/54881/14329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54881/14329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54881 ÷ 217
    54881 ÷ 131072     		x = 0.418708801269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14329 ÷ 217
    14329 ÷ 131072     		y = 0.109321594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418708801269531 × 2 - 1) × π
    -0.162582397460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51076767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109321594238281 × 2 - 1) × π
    0.781356811523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.45470481884422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51076767} λ = -0.51076767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45470481884422))-π/2
    2×atan(11.6429962485019)-π/2
    2×1.48511804794842-π/2
    2.97023609589685-1.57079632675     		φ = 1.39943977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51076767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.264832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39943977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.181993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54881 KachelY 14329 -0.51076767 1.39943977 -29.264832 80.181993
    Oben rechts KachelX + 1 54882 KachelY 14329 -0.51071973 1.39943977 -29.262085 80.181993
    Unten links KachelX 54881 KachelY + 1 14330 -0.51076767 1.39943159 -29.264832 80.181524
    Unten rechts KachelX + 1 54882 KachelY + 1 14330 -0.51071973 1.39943159 -29.262085 80.181524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39943977-1.39943159) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dl = 52.1147800001547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39943977-1.39943159) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dr = 52.1147800001547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51076767--0.51071973) × cos(1.39943977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17051919470085 × 6371000     		do = 52.0809512256769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51076767--0.51071973) × cos(1.39943159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170527254893766 × 6371000     		du = 52.0834130160629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39943977)-sin(1.39943159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17051919470085-0.170527254893766)×R²
    abs(-0.51071973--0.51076767)×8.06019291610394e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.06019291610394e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.06019291610394e-06×40589641000000     		ar = 2714.2514631753m²