Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54880 / 42975
↖ ↑ ↗
← N 52.537944°
W 29.267578°		 ← 185.73 m → N 52.537944°
W 29.264832°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
N 52.536273°
W 29.267578°		 ← 185.74 m →
34 506 m²		 N 52.536273°
W 29.264832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418704986572266 y=0.327877044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418704986572266 × 217)
    floor (0.418704986572266 × 131072)
    floor (54880.5)     		tx = 54880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327877044677734 × 217)
    floor (0.327877044677734 × 131072)
    floor (42975.5)     		ty = 42975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54880 / 42975 ti = "17/54880/42975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54880/42975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54880 ÷ 217
    54880 ÷ 131072     		x = 0.418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42975 ÷ 217
    42975 ÷ 131072     		y = 0.327873229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327873229980469 × 2 - 1) × π
    0.344253540039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.08150439232809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51081560} λ = -0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08150439232809))-π/2
    2×atan(2.94911283825632)-π/2
    2×1.24387821278725-π/2
    2.48775642557449-1.57079632675     		φ = 0.91696010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91696010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.537944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54880 KachelY 42975 -0.51081560 0.91696010 -29.267578 52.537944
    Oben rechts KachelX + 1 54881 KachelY 42975 -0.51076767 0.91696010 -29.264832 52.537944
    Unten links KachelX 54880 KachelY + 1 42976 -0.51081560 0.91693094 -29.267578 52.536273
    Unten rechts KachelX + 1 54881 KachelY + 1 42976 -0.51076767 0.91693094 -29.264832 52.536273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91696010-0.91693094) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91696010-0.91693094) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51081560--0.51076767) × cos(0.91696010) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.608235903095789 × 6371000     		do = 185.732150088327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51081560--0.51076767) × cos(0.91693094) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.608259048771312 × 6371000     		du = 185.739217898791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91696010)-sin(0.91693094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608235903095789-0.608259048771312)×R²
    abs(-0.51076767--0.51081560)×2.31456755228621e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31456755228621e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31456755228621e-05×40589641000000     		ar = 34505.670768224m²