Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54880 / 42912
↖ ↑ ↗
← N 52.643064°
W 29.267578°		 ← 185.29 m → N 52.643064°
W 29.264832°		 →
↑
185.33 m
↓
↑
185.33 m
↓
N 52.641397°
W 29.267578°		 ← 185.29 m →
34 340 m²		 N 52.641397°
W 29.264832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418704986572266 y=0.327396392822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418704986572266 × 217)
    floor (0.418704986572266 × 131072)
    floor (54880.5)     		tx = 54880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327396392822266 × 217)
    floor (0.327396392822266 × 131072)
    floor (42912.5)     		ty = 42912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54880 / 42912 ti = "17/54880/42912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54880/42912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54880 ÷ 217
    54880 ÷ 131072     		x = 0.418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42912 ÷ 217
    42912 ÷ 131072     		y = 0.327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327392578125 × 2 - 1) × π
    0.34521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08452441700415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51081560} λ = -0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08452441700415))-π/2
    2×atan(2.95803269411325)-π/2
    2×1.24479555604101-π/2
    2.48959111208203-1.57079632675     		φ = 0.91879479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91879479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.643064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54880 KachelY 42912 -0.51081560 0.91879479 -29.267578 52.643064
    Oben rechts KachelX + 1 54881 KachelY 42912 -0.51076767 0.91879479 -29.264832 52.643064
    Unten links KachelX 54880 KachelY + 1 42913 -0.51081560 0.91876570 -29.267578 52.641397
    Unten rechts KachelX + 1 54881 KachelY + 1 42913 -0.51076767 0.91876570 -29.264832 52.641397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91879479-0.91876570) × R
    2.90899999999539e-05 × 6371000     		dl = 185.332389999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91879479-0.91876570) × R
    2.90899999999539e-05 × 6371000     		dr = 185.332389999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51081560--0.51076767) × cos(0.91879479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.606778583453547 × 6371000     		do = 185.287140004013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51081560--0.51076767) × cos(0.91876570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.606801705991343 × 6371000     		du = 185.294200749093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91879479)-sin(0.91876570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606778583453547-0.606801705991343)×R²
    abs(-0.51076767--0.51081560)×2.31225377959055e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31225377959055e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31225377959055e-05×40589641000000     		ar = 34340.3627881683m²