Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54879 / 42987
↖ ↑ ↗
← N 52.517892°
W 29.270325°		 ← 185.86 m → N 52.517892°
W 29.267578°		 →
↑
185.91 m
↓
↑
185.91 m
↓
N 52.516221°
W 29.270325°		 ← 185.86 m →
34 552 m²		 N 52.516221°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418697357177734 y=0.327968597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418697357177734 × 217)
    floor (0.418697357177734 × 131072)
    floor (54879.5)     		tx = 54879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327968597412109 × 217)
    floor (0.327968597412109 × 131072)
    floor (42987.5)     		ty = 42987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54879 / 42987 ti = "17/54879/42987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54879/42987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54879 ÷ 217
    54879 ÷ 131072     		x = 0.418693542480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42987 ÷ 217
    42987 ÷ 131072     		y = 0.327964782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418693542480469 × 2 - 1) × π
    -0.162612915039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51086354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327964782714844 × 2 - 1) × π
    0.344070434570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.08092914953265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51086354} λ = -0.51086354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08092914953265))-π/2
    2×atan(2.94741687018665)-π/2
    2×1.24370323118446-π/2
    2.48740646236892-1.57079632675     		φ = 0.91661014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51086354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.270325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91661014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.517892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54879 KachelY 42987 -0.51086354 0.91661014 -29.270325 52.517892
    Oben rechts KachelX + 1 54880 KachelY 42987 -0.51081560 0.91661014 -29.267578 52.517892
    Unten links KachelX 54879 KachelY + 1 42988 -0.51086354 0.91658096 -29.270325 52.516221
    Unten rechts KachelX + 1 54880 KachelY + 1 42988 -0.51081560 0.91658096 -29.267578 52.516221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91661014-0.91658096) × R
    2.9179999999962e-05 × 6371000     		dl = 185.905779999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91661014-0.91658096) × R
    2.9179999999962e-05 × 6371000     		dr = 185.905779999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51086354--0.51081560) × cos(0.91661014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60851364880387 × 6371000     		do = 185.8557314859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51086354--0.51081560) × cos(0.91658096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608536804141425 × 6371000     		du = 185.862803722008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91661014)-sin(0.91658096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60851364880387-0.608536804141425)×R²
    abs(-0.51081560--0.51086354)×2.31553375544813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31553375544813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31553375544813e-05×40589641000000     		ar = 34552.3121165532m²