Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54879 / 17573
↖ ↑ ↗
← N 78.540315°
W 29.270325°		 ← 60.68 m → N 78.540315°
W 29.267578°		 →
↑
60.65 m
↓
↑
60.65 m
↓
N 78.539770°
W 29.270325°		 ← 60.68 m →
3 681 m²		 N 78.539770°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418697357177734 y=0.134075164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418697357177734 × 217)
    floor (0.418697357177734 × 131072)
    floor (54879.5)     		tx = 54879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134075164794922 × 217)
    floor (0.134075164794922 × 131072)
    floor (17573.5)     		ty = 17573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54879 / 17573 ti = "17/54879/17573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54879/17573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54879 ÷ 217
    54879 ÷ 131072     		x = 0.418693542480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17573 ÷ 217
    17573 ÷ 131072     		y = 0.134071350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418693542480469 × 2 - 1) × π
    -0.162612915039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51086354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134071350097656 × 2 - 1) × π
    0.731857299804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.29919751647675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51086354} λ = -0.51086354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29919751647675))-π/2
    2×atan(9.966181548464)-π/2
    2×1.47079171324342-π/2
    2.94158342648684-1.57079632675     		φ = 1.37078710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51086354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.270325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37078710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.540315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54879 KachelY 17573 -0.51086354 1.37078710 -29.270325 78.540315
    Oben rechts KachelX + 1 54880 KachelY 17573 -0.51081560 1.37078710 -29.267578 78.540315
    Unten links KachelX 54879 KachelY + 1 17574 -0.51086354 1.37077758 -29.270325 78.539770
    Unten rechts KachelX + 1 54880 KachelY + 1 17574 -0.51081560 1.37077758 -29.267578 78.539770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37078710-1.37077758) × R
    9.52000000009612e-06 × 6371000     		dl = 60.6519200006124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37078710-1.37077758) × R
    9.52000000009612e-06 × 6371000     		dr = 60.6519200006124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51086354--0.51081560) × cos(1.37078710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198678373659903 × 6371000     		do = 60.6814892970326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51086354--0.51081560) × cos(1.37077758) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19868770386727 × 6371000     		du = 60.6843389825219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37078710)-sin(1.37077758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198678373659903-0.19868770386727)×R²
    abs(-0.51081560--0.51086354)×9.33020736651469e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.33020736651469e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.33020736651469e-06×40589641000000     		ar = 3680.53525380643m²