Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54876 / 18972
↖ ↑ ↗
← N 77.751278°
W 29.278564°		 ← 64.80 m → N 77.751278°
W 29.275818°		 →
↑
64.79 m
↓
↑
64.79 m
↓
N 77.750695°
W 29.278564°		 ← 64.80 m →
4 199 m²		 N 77.750695°
W 29.275818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418674468994141 y=0.144748687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418674468994141 × 217)
    floor (0.418674468994141 × 131072)
    floor (54876.5)     		tx = 54876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144748687744141 × 217)
    floor (0.144748687744141 × 131072)
    floor (18972.5)     		ty = 18972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54876 / 18972 ti = "17/54876/18972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54876/18972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54876 ÷ 217
    54876 ÷ 131072     		x = 0.418670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18972 ÷ 217
    18972 ÷ 131072     		y = 0.144744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.16265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51100735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144744873046875 × 2 - 1) × π
    0.71051025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23213379390829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51100735} λ = -0.51100735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23213379390829))-π/2
    2×atan(9.31973126363911)-π/2
    2×1.46390605734307-π/2
    2.92781211468613-1.57079632675     		φ = 1.35701579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51100735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.278564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35701579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54876 KachelY 18972 -0.51100735 1.35701579 -29.278564 77.751278
    Oben rechts KachelX + 1 54877 KachelY 18972 -0.51095941 1.35701579 -29.275818 77.751278
    Unten links KachelX 54876 KachelY + 1 18973 -0.51100735 1.35700562 -29.278564 77.750695
    Unten rechts KachelX + 1 54877 KachelY + 1 18973 -0.51095941 1.35700562 -29.275818 77.750695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35701579-1.35700562) × R
    1.01699999999205e-05 × 6371000     		dl = 64.7930699994936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35701579-1.35700562) × R
    1.01699999999205e-05 × 6371000     		dr = 64.7930699994936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51100735--0.51095941) × cos(1.35701579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212155883197628 × 6371000     		do = 64.7978676209465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51100735--0.51095941) × cos(1.35700562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212165821675119 × 6371000     		du = 64.8009030877887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35701579)-sin(1.35700562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212155883197628-0.212165821675119)×R²
    abs(-0.51095941--0.51100735)×9.93847749108934e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.93847749108934e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.93847749108934e-06×40589641000000     		ar = 4198.55111128027m²