Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54875 / 42663
↖ ↑ ↗
← N 53.056073°
W 29.281311°		 ← 183.57 m → N 53.056073°
W 29.278564°		 →
↑
183.61 m
↓
↑
183.61 m
↓
N 53.054422°
W 29.281311°		 ← 183.58 m →
33 707 m²		 N 53.054422°
W 29.278564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418666839599609 y=0.325496673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418666839599609 × 217)
    floor (0.418666839599609 × 131072)
    floor (54875.5)     		tx = 54875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325496673583984 × 217)
    floor (0.325496673583984 × 131072)
    floor (42663.5)     		ty = 42663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54875 / 42663 ti = "17/54875/42663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54875/42663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54875 ÷ 217
    54875 ÷ 131072     		x = 0.418663024902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42663 ÷ 217
    42663 ÷ 131072     		y = 0.325492858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418663024902344 × 2 - 1) × π
    -0.162673950195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.51105529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325492858886719 × 2 - 1) × π
    0.349014282226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.09646070500954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51105529} λ = -0.51105529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09646070500954))-π/2
    2×atan(2.99355218801516)-π/2
    2×1.24839974164402-π/2
    2.49679948328804-1.57079632675     		φ = 0.92600316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51105529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.281311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92600316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.056073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54875 KachelY 42663 -0.51105529 0.92600316 -29.281311 53.056073
    Oben rechts KachelX + 1 54876 KachelY 42663 -0.51100735 0.92600316 -29.278564 53.056073
    Unten links KachelX 54875 KachelY + 1 42664 -0.51105529 0.92597434 -29.281311 53.054422
    Unten rechts KachelX + 1 54876 KachelY + 1 42664 -0.51100735 0.92597434 -29.278564 53.054422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92600316-0.92597434) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dl = 183.612220000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92600316-0.92597434) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dr = 183.612220000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51105529--0.51100735) × cos(0.92600316) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.601033145289598 × 6371000     		do = 183.570993164908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51105529--0.51100735) × cos(0.92597434) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.601056178678483 × 6371000     		du = 183.578028154753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92600316)-sin(0.92597434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601033145289598-0.601056178678483)×R²
    abs(-0.51100735--0.51105529)×2.30333888843193e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.30333888843193e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.30333888843193e-05×40589641000000     		ar = 33706.5234401485m²