Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54874 / 22986
↖ ↑ ↗
← N 47.241949°
E121.431885°		 ← 414.67 m → N 47.241949°
E121.437378°		 →
↑
414.69 m
↓
↑
414.69 m
↓
N 47.238219°
E121.431885°		 ← 414.70 m →
171 963 m²		 N 47.238219°
E121.437378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837318420410156 y=0.350746154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837318420410156 × 216)
    floor (0.837318420410156 × 65536)
    floor (54874.5)     		tx = 54874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350746154785156 × 216)
    floor (0.350746154785156 × 65536)
    floor (22986.5)     		ty = 22986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54874 / 22986 ti = "16/54874/22986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54874/22986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54874 ÷ 216
    54874 ÷ 65536     		x = 0.837310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22986 ÷ 216
    22986 ÷ 65536     		y = 0.350738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837310791015625 × 2 - 1) × π
    0.67462158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.11938621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350738525390625 × 2 - 1) × π
    0.29852294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.937837504166779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11938621} λ = 2.11938621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937837504166779))-π/2
    2×atan(2.55445145060012)-π/2
    2×1.19766193938642-π/2
    2.39532387877284-1.57079632675     		φ = 0.82452755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11938621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.431885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82452755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.241949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54874 KachelY 22986 2.11938621 0.82452755 121.431885 47.241949
    Oben rechts KachelX + 1 54875 KachelY 22986 2.11948208 0.82452755 121.437378 47.241949
    Unten links KachelX 54874 KachelY + 1 22987 2.11938621 0.82446246 121.431885 47.238219
    Unten rechts KachelX + 1 54875 KachelY + 1 22987 2.11948208 0.82446246 121.437378 47.238219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82452755-0.82446246) × R
    6.50899999999899e-05 × 6371000     		dl = 414.688389999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82452755-0.82446246) × R
    6.50899999999899e-05 × 6371000     		dr = 414.688389999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11938621-2.11948208) × cos(0.82452755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678903926980642 × 6371000     		do = 414.66621560474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11938621-2.11948208) × cos(0.82446246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678951716385432 × 6371000     		du = 414.695404788722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82452755)-sin(0.82446246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678903926980642-0.678951716385432)×R²
    abs(2.11948208-2.11938621)×4.77894047904437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77894047904437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77894047904437e-05×40589641000000     		ar = 171963.31760535m²