Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54872 / 18968
↖ ↑ ↗
← N 77.753608°
W 29.289551°		 ← 64.79 m → N 77.753608°
W 29.286804°		 →
↑
64.73 m
↓
↑
64.73 m
↓
N 77.753026°
W 29.289551°		 ← 64.79 m →
4 194 m²		 N 77.753026°
W 29.286804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418643951416016 y=0.144718170166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418643951416016 × 217)
    floor (0.418643951416016 × 131072)
    floor (54872.5)     		tx = 54872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144718170166016 × 217)
    floor (0.144718170166016 × 131072)
    floor (18968.5)     		ty = 18968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54872 / 18968 ti = "17/54872/18968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54872/18968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54872 ÷ 217
    54872 ÷ 131072     		x = 0.41864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18968 ÷ 217
    18968 ÷ 131072     		y = 0.14471435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.1627197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51119910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14471435546875 × 2 - 1) × π
    0.7105712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23232554150677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51119910} λ = -0.51119910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23232554150677))-π/2
    2×atan(9.32151847106828)-π/2
    2×1.46392639562823-π/2
    2.92785279125646-1.57079632675     		φ = 1.35705646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51119910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.289551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35705646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.753608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54872 KachelY 18968 -0.51119910 1.35705646 -29.289551 77.753608
    Oben rechts KachelX + 1 54873 KachelY 18968 -0.51115116 1.35705646 -29.286804 77.753608
    Unten links KachelX 54872 KachelY + 1 18969 -0.51119910 1.35704630 -29.289551 77.753026
    Unten rechts KachelX + 1 54873 KachelY + 1 18969 -0.51115116 1.35704630 -29.286804 77.753026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35705646-1.35704630) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dl = 64.7293599998808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35705646-1.35704630) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dr = 64.7293599998808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51119910--0.51115116) × cos(1.35705646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212116138840688 × 6371000     		do = 64.7857286713172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51119910--0.51115116) × cos(1.35704630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2121260676335 × 6371000     		du = 64.7887611802093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35705646)-sin(1.35704630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212116138840688-0.2121260676335)×R²
    abs(-0.51115116--0.51119910)×9.92879281250247e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.92879281250247e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.92879281250247e-06×40589641000000     		ar = 4193.63690025141m²