Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54872 / 17637
↖ ↑ ↗
← N 78.505339°
W 29.289551°		 ← 60.86 m → N 78.505339°
W 29.286804°		 →
↑
60.84 m
↓
↑
60.84 m
↓
N 78.504791°
W 29.289551°		 ← 60.87 m →
3 703 m²		 N 78.504791°
W 29.286804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418643951416016 y=0.134563446044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418643951416016 × 217)
    floor (0.418643951416016 × 131072)
    floor (54872.5)     		tx = 54872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134563446044922 × 217)
    floor (0.134563446044922 × 131072)
    floor (17637.5)     		ty = 17637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54872 / 17637 ti = "17/54872/17637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54872/17637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54872 ÷ 217
    54872 ÷ 131072     		x = 0.41864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17637 ÷ 217
    17637 ÷ 131072     		y = 0.134559631347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.1627197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51119910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134559631347656 × 2 - 1) × π
    0.730880737304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.29612955490107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51119910} λ = -0.51119910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29612955490107))-π/2
    2×atan(9.93565254127343)-π/2
    2×1.47048648580459-π/2
    2.94097297160919-1.57079632675     		φ = 1.37017664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51119910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.289551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37017664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.505339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54872 KachelY 17637 -0.51119910 1.37017664 -29.289551 78.505339
    Oben rechts KachelX + 1 54873 KachelY 17637 -0.51115116 1.37017664 -29.286804 78.505339
    Unten links KachelX 54872 KachelY + 1 17638 -0.51119910 1.37016709 -29.289551 78.504791
    Unten rechts KachelX + 1 54873 KachelY + 1 17638 -0.51115116 1.37016709 -29.286804 78.504791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37017664-1.37016709) × R
    9.54999999991379e-06 × 6371000     		dl = 60.8430499994508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37017664-1.37016709) × R
    9.54999999991379e-06 × 6371000     		dr = 60.8430499994508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51119910--0.51115116) × cos(1.37017664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.199276626926924 × 6371000     		do = 60.8642112438196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51119910--0.51115116) × cos(1.37016709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.199285985376131 × 6371000     		du = 60.8670695550939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37017664)-sin(1.37016709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199276626926924-0.199285985376131)×R²
    abs(-0.51115116--0.51119910)×9.35844920699203e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.35844920699203e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.35844920699203e-06×40589641000000     		ar = 3703.25120210506m²