Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54871 / 17606
↖ ↑ ↗
← N 78.522294°
W 29.292297°		 ← 60.76 m → N 78.522294°
W 29.289551°		 →
↑
60.78 m
↓
↑
60.78 m
↓
N 78.521747°
W 29.292297°		 ← 60.77 m →
3 693 m²		 N 78.521747°
W 29.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418636322021484 y=0.134326934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418636322021484 × 217)
    floor (0.418636322021484 × 131072)
    floor (54871.5)     		tx = 54871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134326934814453 × 217)
    floor (0.134326934814453 × 131072)
    floor (17606.5)     		ty = 17606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54871 / 17606 ti = "17/54871/17606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54871/17606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54871 ÷ 217
    54871 ÷ 131072     		x = 0.418632507324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17606 ÷ 217
    17606 ÷ 131072     		y = 0.134323120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418632507324219 × 2 - 1) × π
    -0.162734985351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.51124703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134323120117188 × 2 - 1) × π
    0.731353759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29761559878929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51124703} λ = -0.51124703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29761559878929))-π/2
    2×atan(9.95042833302625)-π/2
    2×1.47063444494762-π/2
    2.94126888989524-1.57079632675     		φ = 1.37047256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51124703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.292297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37047256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.522294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54871 KachelY 17606 -0.51124703 1.37047256 -29.292297 78.522294
    Oben rechts KachelX + 1 54872 KachelY 17606 -0.51119910 1.37047256 -29.289551 78.522294
    Unten links KachelX 54871 KachelY + 1 17607 -0.51124703 1.37046302 -29.292297 78.521747
    Unten rechts KachelX + 1 54872 KachelY + 1 17607 -0.51119910 1.37046302 -29.289551 78.521747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37047256-1.37046302) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dl = 60.779339999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37047256-1.37046302) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dr = 60.779339999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51124703--0.51119910) × cos(1.37047256) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19898663339146 × 6371000     		do = 60.7629623153193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51124703--0.51119910) × cos(1.37046302) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198995982603431 × 6371000     		du = 60.7658172096655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37047256)-sin(1.37046302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19898663339146-0.198995982603431)×R²
    abs(-0.51119910--0.51124703)×9.34921197040528e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.34921197040528e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.34921197040528e-06×40589641000000     		ar = 3693.21950530122m²