Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54870 / 16842
↖ ↑ ↗
← N 78.932437°
W 29.295044°		 ← 58.63 m → N 78.932437°
W 29.292297°		 →
↑
58.68 m
↓
↑
58.68 m
↓
N 78.931910°
W 29.295044°		 ← 58.63 m →
3 440 m²		 N 78.931910°
W 29.292297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418628692626953 y=0.128498077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418628692626953 × 217)
    floor (0.418628692626953 × 131072)
    floor (54870.5)     		tx = 54870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128498077392578 × 217)
    floor (0.128498077392578 × 131072)
    floor (16842.5)     		ty = 16842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54870 / 16842 ti = "17/54870/16842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54870/16842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54870 ÷ 217
    54870 ÷ 131072     		x = 0.418624877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16842 ÷ 217
    16842 ÷ 131072     		y = 0.128494262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418624877929688 × 2 - 1) × π
    -0.162750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51129497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128494262695312 × 2 - 1) × π
    0.743011474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33423939009901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51129497} λ = -0.51129497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33423939009901))-π/2
    2×atan(10.3216062270559)-π/2
    2×1.4742136209338-π/2
    2.9484272418676-1.57079632675     		φ = 1.37763092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51129497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.295044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37763092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.932437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54870 KachelY 16842 -0.51129497 1.37763092 -29.295044 78.932437
    Oben rechts KachelX + 1 54871 KachelY 16842 -0.51124703 1.37763092 -29.292297 78.932437
    Unten links KachelX 54870 KachelY + 1 16843 -0.51129497 1.37762171 -29.295044 78.931910
    Unten rechts KachelX + 1 54871 KachelY + 1 16843 -0.51124703 1.37762171 -29.292297 78.931910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37763092-1.37762171) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dl = 58.6769099998836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37763092-1.37762171) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dr = 58.6769099998836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51129497--0.51124703) × cos(1.37763092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19196638650056 × 6371000     		do = 58.6314756520211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51129497--0.51124703) × cos(1.37762171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191975425200244 × 6371000     		du = 58.6342363035606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37763092)-sin(1.37762171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19196638650056-0.191975425200244)×R²
    abs(-0.51124703--0.51129497)×9.03869968371662e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.03869968371662e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.03869968371662e-06×40589641000000     		ar = 3440.39481325356m²