Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54869 / 14271
↖ ↑ ↗
← N 80.209119°
W 29.297791°		 ← 51.94 m → N 80.209119°
W 29.295044°		 →
↑
51.92 m
↓
↑
51.92 m
↓
N 80.208652°
W 29.297791°		 ← 51.94 m →
2 697 m²		 N 80.208652°
W 29.295044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418621063232422 y=0.108882904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418621063232422 × 217)
    floor (0.418621063232422 × 131072)
    floor (54869.5)     		tx = 54869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108882904052734 × 217)
    floor (0.108882904052734 × 131072)
    floor (14271.5)     		ty = 14271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54869 / 14271 ti = "17/54869/14271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54869/14271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54869 ÷ 217
    54869 ÷ 131072     		x = 0.418617248535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14271 ÷ 217
    14271 ÷ 131072     		y = 0.108879089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418617248535156 × 2 - 1) × π
    -0.162765502929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.51134291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108879089355469 × 2 - 1) × π
    0.782241821289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.45748515902218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51134291} λ = -0.51134291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45748515902218))-π/2
    2×atan(11.6754127823768)-π/2
    2×1.48535477420677-π/2
    2.97070954841354-1.57079632675     		φ = 1.39991322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51134291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.297791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39991322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.209119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54869 KachelY 14271 -0.51134291 1.39991322 -29.297791 80.209119
    Oben rechts KachelX + 1 54870 KachelY 14271 -0.51129497 1.39991322 -29.295044 80.209119
    Unten links KachelX 54869 KachelY + 1 14272 -0.51134291 1.39990507 -29.297791 80.208652
    Unten rechts KachelX + 1 54870 KachelY + 1 14272 -0.51129497 1.39990507 -29.295044 80.208652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39991322-1.39990507) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dl = 51.9236499999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39991322-1.39990507) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dr = 51.9236499999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51134291--0.51129497) × cos(1.39991322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17005265958771 × 6371000     		do = 51.9384593935105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51134291--0.51129497) × cos(1.39990507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170060690877121 × 6371000     		du = 51.940912356022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39991322)-sin(1.39990507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17005265958771-0.170060690877121)×R²
    abs(-0.51129497--0.51134291)×8.03128941093134e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.03128941093134e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.03128941093134e-06×40589641000000     		ar = 2696.89807044976m²