Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54868 / 14268
↖ ↑ ↗
← N 80.210521°
W 29.300537°		 ← 51.93 m → N 80.210521°
W 29.297791°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.210053°
W 29.300537°		 ← 51.93 m →
2 700 m²		 N 80.210053°
W 29.297791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418613433837891 y=0.108860015869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418613433837891 × 217)
    floor (0.418613433837891 × 131072)
    floor (54868.5)     		tx = 54868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108860015869141 × 217)
    floor (0.108860015869141 × 131072)
    floor (14268.5)     		ty = 14268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54868 / 14268 ti = "17/54868/14268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54868/14268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54868 ÷ 217
    54868 ÷ 131072     		x = 0.418609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14268 ÷ 217
    14268 ÷ 131072     		y = 0.108856201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.16278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51139085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108856201171875 × 2 - 1) × π
    0.78228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.45762896972104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51139085} λ = -0.51139085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45762896972104))-π/2
    2×atan(11.6770919523869)-π/2
    2×1.48536700103617-π/2
    2.97073400207234-1.57079632675     		φ = 1.39993768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51139085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.300537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39993768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.210521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54868 KachelY 14268 -0.51139085 1.39993768 -29.300537 80.210521
    Oben rechts KachelX + 1 54869 KachelY 14268 -0.51134291 1.39993768 -29.297791 80.210521
    Unten links KachelX 54868 KachelY + 1 14269 -0.51139085 1.39992952 -29.300537 80.210053
    Unten rechts KachelX + 1 54869 KachelY + 1 14269 -0.51134291 1.39992952 -29.297791 80.210053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39993768-1.39992952) × R
    8.16000000014583e-06 × 6371000     		dl = 51.9873600009291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39993768-1.39992952) × R
    8.16000000014583e-06 × 6371000     		dr = 51.9873600009291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51139085--0.51134291) × cos(1.39993768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170028555797316 × 6371000     		do = 51.9310974754926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51139085--0.51134291) × cos(1.39992952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170036596975003 × 6371000     		du = 51.933553458138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39993768)-sin(1.39992952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170028555797316-0.170036596975003)×R²
    abs(-0.51134291--0.51139085)×8.04117768682389e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.04117768682389e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.04117768682389e-06×40589641000000     		ar = 2699.82449974401m²