Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54867 / 17622
↖ ↑ ↗
← N 78.513546°
W 29.303284°		 ← 60.81 m → N 78.513546°
W 29.300537°		 →
↑
60.78 m
↓
↑
60.78 m
↓
N 78.512999°
W 29.303284°		 ← 60.81 m →
3 696 m²		 N 78.512999°
W 29.300537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418605804443359 y=0.134449005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418605804443359 × 217)
    floor (0.418605804443359 × 131072)
    floor (54867.5)     		tx = 54867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134449005126953 × 217)
    floor (0.134449005126953 × 131072)
    floor (17622.5)     		ty = 17622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54867 / 17622 ti = "17/54867/17622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54867/17622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54867 ÷ 217
    54867 ÷ 131072     		x = 0.418601989746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17622 ÷ 217
    17622 ÷ 131072     		y = 0.134445190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418601989746094 × 2 - 1) × π
    -0.162796020507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51143878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134445190429688 × 2 - 1) × π
    0.731109619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29684860839537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51143878} λ = -0.51143878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29684860839537))-π/2
    2×atan(9.94279937612175)-π/2
    2×1.47055810584428-π/2
    2.94111621168856-1.57079632675     		φ = 1.37031988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51143878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.303284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37031988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.513546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54867 KachelY 17622 -0.51143878 1.37031988 -29.303284 78.513546
    Oben rechts KachelX + 1 54868 KachelY 17622 -0.51139085 1.37031988 -29.300537 78.513546
    Unten links KachelX 54867 KachelY + 1 17623 -0.51143878 1.37031034 -29.303284 78.512999
    Unten rechts KachelX + 1 54868 KachelY + 1 17623 -0.51139085 1.37031034 -29.300537 78.512999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37031988-1.37031034) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dl = 60.779339999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37031988-1.37031034) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dr = 60.779339999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51143878--0.51139085) × cos(1.37031988) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19913625780807 × 6371000     		do = 60.8086519309129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51143878--0.51139085) × cos(1.37031034) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199145606730087 × 6371000     		du = 60.8115067367183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37031988)-sin(1.37031034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19913625780807-0.199145606730087)×R²
    abs(-0.51139085--0.51143878)×9.34892201720494e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.34892201720494e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.34892201720494e-06×40589641000000     		ar = 3695.99648722836m²