Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54866 / 17600
↖ ↑ ↗
← N 78.525573°
W 29.306030°		 ← 60.76 m → N 78.525573°
W 29.303284°		 →
↑
60.78 m
↓
↑
60.78 m
↓
N 78.525026°
W 29.306030°		 ← 60.76 m →
3 693 m²		 N 78.525026°
W 29.303284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418598175048828 y=0.134281158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418598175048828 × 217)
    floor (0.418598175048828 × 131072)
    floor (54866.5)     		tx = 54866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134281158447266 × 217)
    floor (0.134281158447266 × 131072)
    floor (17600.5)     		ty = 17600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54866 / 17600 ti = "17/54866/17600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54866/17600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54866 ÷ 217
    54866 ÷ 131072     		x = 0.418594360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17600 ÷ 217
    17600 ÷ 131072     		y = 0.13427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418594360351562 × 2 - 1) × π
    -0.162811279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51148672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13427734375 × 2 - 1) × π
    0.7314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29790322018701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51148672} λ = -0.51148672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29790322018701))-π/2
    2×atan(9.95329070075068)-π/2
    2×1.47066305732131-π/2
    2.94132611464262-1.57079632675     		φ = 1.37052979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51148672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.306030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37052979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.525573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54866 KachelY 17600 -0.51148672 1.37052979 -29.306030 78.525573
    Oben rechts KachelX + 1 54867 KachelY 17600 -0.51143878 1.37052979 -29.303284 78.525573
    Unten links KachelX 54866 KachelY + 1 17601 -0.51148672 1.37052025 -29.306030 78.525026
    Unten rechts KachelX + 1 54867 KachelY + 1 17601 -0.51143878 1.37052025 -29.303284 78.525026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37052979-1.37052025) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dl = 60.779339999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37052979-1.37052025) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dr = 60.779339999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51148672--0.51143878) × cos(1.37052979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198930547539492 × 6371000     		do = 60.7585096908146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51148672--0.51143878) × cos(1.37052025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198939896860091 × 6371000     		du = 60.7613652139771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37052979)-sin(1.37052025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198930547539492-0.198939896860091)×R²
    abs(-0.51143878--0.51148672)×9.34932059920568e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.34932059920568e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.34932059920568e-06×40589641000000     		ar = 3692.94889674763m²