Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54865 / 42612
↖ ↑ ↗
← N 53.140181°
W 29.308777°		 ← 183.21 m → N 53.140181°
W 29.306030°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
N 53.138533°
W 29.308777°		 ← 183.22 m →
33 571 m²		 N 53.138533°
W 29.306030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418590545654297 y=0.325107574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418590545654297 × 217)
    floor (0.418590545654297 × 131072)
    floor (54865.5)     		tx = 54865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325107574462891 × 217)
    floor (0.325107574462891 × 131072)
    floor (42612.5)     		ty = 42612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54865 / 42612 ti = "17/54865/42612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54865/42612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54865 ÷ 217
    54865 ÷ 131072     		x = 0.418586730957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42612 ÷ 217
    42612 ÷ 131072     		y = 0.325103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418586730957031 × 2 - 1) × π
    -0.162826538085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51153466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325103759765625 × 2 - 1) × π
    0.34979248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09890548689017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51153466} λ = -0.51153466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09890548689017))-π/2
    2×atan(3.00087972362657)-π/2
    2×1.2491337215494-π/2
    2.4982674430988-1.57079632675     		φ = 0.92747112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51153466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.308777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92747112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.140181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54865 KachelY 42612 -0.51153466 0.92747112 -29.308777 53.140181
    Oben rechts KachelX + 1 54866 KachelY 42612 -0.51148672 0.92747112 -29.306030 53.140181
    Unten links KachelX 54865 KachelY + 1 42613 -0.51153466 0.92744236 -29.308777 53.138533
    Unten rechts KachelX + 1 54866 KachelY + 1 42613 -0.51148672 0.92744236 -29.306030 53.138533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92747112-0.92744236) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dl = 183.229959999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92747112-0.92744236) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dr = 183.229959999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51153466--0.51148672) × cos(0.92747112) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.599859269119562 × 6371000     		do = 183.212461167005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51153466--0.51148672) × cos(0.92744236) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.599882279906484 × 6371000     		du = 183.219489253629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92747112)-sin(0.92744236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599859269119562-0.599882279906484)×R²
    abs(-0.51148672--0.51153466)×2.30107869226837e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.30107869226837e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.30107869226837e-05×40589641000000     		ar = 33570.6558114048m²