Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54863 / 42615
↖ ↑ ↗
← N 53.135238°
W 29.314270°		 ← 183.23 m → N 53.135238°
W 29.311523°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
N 53.133590°
W 29.314270°		 ← 183.24 m →
33 575 m²		 N 53.133590°
W 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418575286865234 y=0.325130462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418575286865234 × 217)
    floor (0.418575286865234 × 131072)
    floor (54863.5)     		tx = 54863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325130462646484 × 217)
    floor (0.325130462646484 × 131072)
    floor (42615.5)     		ty = 42615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54863 / 42615 ti = "17/54863/42615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54863/42615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54863 ÷ 217
    54863 ÷ 131072     		x = 0.418571472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42615 ÷ 217
    42615 ÷ 131072     		y = 0.325126647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418571472167969 × 2 - 1) × π
    -0.162857055664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51163053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325126647949219 × 2 - 1) × π
    0.349746704101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.09876167619131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51163053} λ = -0.51163053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09876167619131))-π/2
    2×atan(3.00044819604621)-π/2
    2×1.24909058597726-π/2
    2.49818117195453-1.57079632675     		φ = 0.92738485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51163053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.314270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92738485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.135238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54863 KachelY 42615 -0.51163053 0.92738485 -29.314270 53.135238
    Oben rechts KachelX + 1 54864 KachelY 42615 -0.51158259 0.92738485 -29.311523 53.135238
    Unten links KachelX 54863 KachelY + 1 42616 -0.51163053 0.92735609 -29.314270 53.133590
    Unten rechts KachelX + 1 54864 KachelY + 1 42616 -0.51158259 0.92735609 -29.311523 53.133590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92738485-0.92735609) × R
    2.87600000000721e-05 × 6371000     		dl = 183.229960000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92738485-0.92735609) × R
    2.87600000000721e-05 × 6371000     		dr = 183.229960000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51163053--0.51158259) × cos(0.92738485) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.599928291991217 × 6371000     		do = 183.233542528658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51163053--0.51158259) × cos(0.92735609) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.5999513012897 × 6371000     		du = 183.240570160674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92738485)-sin(0.92735609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599928291991217-0.5999513012897)×R²
    abs(-0.51158259--0.51163053)×2.30092984826458e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.30092984826458e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.30092984826458e-05×40589641000000     		ar = 33574.5185069084m²