Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54863 / 12844
↖ ↑ ↗
← N 80.853637°
W 29.314270°		 ← 48.55 m → N 80.853637°
W 29.311523°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
N 80.853201°
W 29.314270°		 ← 48.55 m →
2 357 m²		 N 80.853201°
W 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418575286865234 y=0.0979957580566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418575286865234 × 217)
    floor (0.418575286865234 × 131072)
    floor (54863.5)     		tx = 54863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0979957580566406 × 217)
    floor (0.0979957580566406 × 131072)
    floor (12844.5)     		ty = 12844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54863 / 12844 ti = "17/54863/12844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54863/12844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54863 ÷ 217
    54863 ÷ 131072     		x = 0.418571472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12844 ÷ 217
    12844 ÷ 131072     		y = 0.097991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418571472167969 × 2 - 1) × π
    -0.162857055664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51163053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097991943359375 × 2 - 1) × π
    0.80401611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52589111478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51163053} λ = -0.51163053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52589111478))-π/2
    2×atan(12.5020310458848)-π/2
    2×1.49097925502876-π/2
    2.98195851005752-1.57079632675     		φ = 1.41116218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51163053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.314270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41116218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.853637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54863 KachelY 12844 -0.51163053 1.41116218 -29.314270 80.853637
    Oben rechts KachelX + 1 54864 KachelY 12844 -0.51158259 1.41116218 -29.311523 80.853637
    Unten links KachelX 54863 KachelY + 1 12845 -0.51163053 1.41115456 -29.314270 80.853201
    Unten rechts KachelX + 1 54864 KachelY + 1 12845 -0.51158259 1.41115456 -29.311523 80.853201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41116218-1.41115456) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dl = 48.5470200006179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41116218-1.41115456) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dr = 48.5470200006179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51163053--0.51158259) × cos(1.41116218) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.158957015694258 × 6371000     		do = 48.5495641466909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51163053--0.51158259) × cos(1.41115456) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.158964538805186 × 6371000     		du = 48.5518618984134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41116218)-sin(1.41115456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158957015694258-0.158964538805186)×R²
    abs(-0.51158259--0.51163053)×7.52311092852564e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.52311092852564e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.52311092852564e-06×40589641000000     		ar = 2356.99243608752m²