Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54862 / 16851
↖ ↑ ↗
← N 78.927691°
W 29.317017°		 ← 58.66 m → N 78.927691°
W 29.314270°		 →
↑
58.68 m
↓
↑
58.68 m
↓
N 78.927163°
W 29.317017°		 ← 58.66 m →
3 442 m²		 N 78.927163°
W 29.314270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418567657470703 y=0.128566741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418567657470703 × 217)
    floor (0.418567657470703 × 131072)
    floor (54862.5)     		tx = 54862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128566741943359 × 217)
    floor (0.128566741943359 × 131072)
    floor (16851.5)     		ty = 16851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54862 / 16851 ti = "17/54862/16851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54862/16851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54862 ÷ 217
    54862 ÷ 131072     		x = 0.418563842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16851 ÷ 217
    16851 ÷ 131072     		y = 0.128562927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418563842773438 × 2 - 1) × π
    -0.162872314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51167847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128562927246094 × 2 - 1) × π
    0.742874145507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.33380795800243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51167847} λ = -0.51167847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33380795800243))-π/2
    2×atan(10.3171541153023)-π/2
    2×1.47417220193455-π/2
    2.94834440386911-1.57079632675     		φ = 1.37754808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51167847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.317017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37754808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.927691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54862 KachelY 16851 -0.51167847 1.37754808 -29.317017 78.927691
    Oben rechts KachelX + 1 54863 KachelY 16851 -0.51163053 1.37754808 -29.314270 78.927691
    Unten links KachelX 54862 KachelY + 1 16852 -0.51167847 1.37753887 -29.317017 78.927163
    Unten rechts KachelX + 1 54863 KachelY + 1 16852 -0.51163053 1.37753887 -29.314270 78.927163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37754808-1.37753887) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dl = 58.6769099998836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37754808-1.37753887) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dr = 58.6769099998836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51167847--0.51163053) × cos(1.37754808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192047685142141 × 6371000     		do = 58.6563063497868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51167847--0.51163053) × cos(1.37753887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192056723695328 × 6371000     		du = 58.6590669565826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37754808)-sin(1.37753887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192047685142141-0.192056723695328)×R²
    abs(-0.51163053--0.51167847)×9.03855318729052e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.03855318729052e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.03855318729052e-06×40589641000000     		ar = 3441.85180059308m²