Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54861 / 43184
↖ ↑ ↗
← N 52.187405°
W 29.319763°		 ← 187.21 m → N 52.187405°
W 29.317017°		 →
↑
187.24 m
↓
↑
187.24 m
↓
N 52.185721°
W 29.319763°		 ← 187.22 m →
35 055 m²		 N 52.185721°
W 29.317017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418560028076172 y=0.329471588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418560028076172 × 217)
    floor (0.418560028076172 × 131072)
    floor (54861.5)     		tx = 54861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329471588134766 × 217)
    floor (0.329471588134766 × 131072)
    floor (43184.5)     		ty = 43184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54861 / 43184 ti = "17/54861/43184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54861/43184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54861 ÷ 217
    54861 ÷ 131072     		x = 0.418556213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43184 ÷ 217
    43184 ÷ 131072     		y = 0.3294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418556213378906 × 2 - 1) × π
    -0.162887573242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.51172640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3294677734375 × 2 - 1) × π
    0.341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0714855803075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51172640} λ = -0.51172640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0714855803075))-π/2
    2×atan(2.91971374899141)-π/2
    2×1.24081918382887-π/2
    2.48163836765775-1.57079632675     		φ = 0.91084204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51172640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.319763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91084204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.187405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54861 KachelY 43184 -0.51172640 0.91084204 -29.319763 52.187405
    Oben rechts KachelX + 1 54862 KachelY 43184 -0.51167847 0.91084204 -29.317017 52.187405
    Unten links KachelX 54861 KachelY + 1 43185 -0.51172640 0.91081265 -29.319763 52.185721
    Unten rechts KachelX + 1 54862 KachelY + 1 43185 -0.51167847 0.91081265 -29.317017 52.185721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91084204-0.91081265) × R
    2.9390000000018e-05 × 6371000     		dl = 187.243690000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91084204-0.91081265) × R
    2.9390000000018e-05 × 6371000     		dr = 187.243690000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51172640--0.51167847) × cos(0.91084204) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613080738255924 × 6371000     		do = 187.211578787842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51172640--0.51167847) × cos(0.91081265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613103956686528 × 6371000     		du = 187.218668814945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91084204)-sin(0.91081265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613080738255924-0.613103956686528)×R²
    abs(-0.51167847--0.51172640)×2.3218430604377e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3218430604377e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3218430604377e-05×40589641000000     		ar = 35054.8506068817m²