Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54861 / 14165
↖ ↑ ↗
← N 80.258504°
W 29.319763°		 ← 51.67 m → N 80.258504°
W 29.317017°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.258039°
W 29.319763°		 ← 51.67 m →
2 670 m²		 N 80.258039°
W 29.317017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418560028076172 y=0.108074188232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418560028076172 × 217)
    floor (0.418560028076172 × 131072)
    floor (54861.5)     		tx = 54861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108074188232422 × 217)
    floor (0.108074188232422 × 131072)
    floor (14165.5)     		ty = 14165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54861 / 14165 ti = "17/54861/14165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54861/14165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54861 ÷ 217
    54861 ÷ 131072     		x = 0.418556213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14165 ÷ 217
    14165 ÷ 131072     		y = 0.108070373535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418556213378906 × 2 - 1) × π
    -0.162887573242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.51172640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108070373535156 × 2 - 1) × π
    0.783859252929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.4625664703819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51172640} λ = -0.51172640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4625664703819))-π/2
    2×atan(11.734890173575)-π/2
    2×1.48578573951742-π/2
    2.97157147903485-1.57079632675     		φ = 1.40077515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51172640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.319763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40077515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.258504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54861 KachelY 14165 -0.51172640 1.40077515 -29.319763 80.258504
    Oben rechts KachelX + 1 54862 KachelY 14165 -0.51167847 1.40077515 -29.317017 80.258504
    Unten links KachelX 54861 KachelY + 1 14166 -0.51172640 1.40076704 -29.319763 80.258039
    Unten rechts KachelX + 1 54862 KachelY + 1 14166 -0.51167847 1.40076704 -29.317017 80.258039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40077515-1.40076704) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40077515-1.40076704) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51172640--0.51167847) × cos(1.40077515) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169203220555521 × 6371000     		do = 51.6682389114032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51172640--0.51167847) × cos(1.40076704) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169211213613358 × 6371000     		du = 51.6706796877704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40077515)-sin(1.40076704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169203220555521-0.169211213613358)×R²
    abs(-0.51167847--0.51172640)×7.9930578373022e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.9930578373022e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.9930578373022e-06×40589641000000     		ar = 2669.69947532797m²