Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54860 / 43182
↖ ↑ ↗
← N 52.190773°
W 29.322510°		 ← 187.24 m → N 52.190773°
W 29.319763°		 →
↑
187.24 m
↓
↑
187.24 m
↓
N 52.189089°
W 29.322510°		 ← 187.24 m →
35 060 m²		 N 52.189089°
W 29.319763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418552398681641 y=0.329456329345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418552398681641 × 217)
    floor (0.418552398681641 × 131072)
    floor (54860.5)     		tx = 54860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329456329345703 × 217)
    floor (0.329456329345703 × 131072)
    floor (43182.5)     		ty = 43182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54860 / 43182 ti = "17/54860/43182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54860/43182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54860 ÷ 217
    54860 ÷ 131072     		x = 0.418548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43182 ÷ 217
    43182 ÷ 131072     		y = 0.329452514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.16290283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51177434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329452514648438 × 2 - 1) × π
    0.341094970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07158145410674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51177434} λ = -0.51177434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07158145410674))-π/2
    2×atan(2.91999368646034)-π/2
    2×1.24084857190566-π/2
    2.48169714381132-1.57079632675     		φ = 0.91090082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51177434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91090082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.190773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54860 KachelY 43182 -0.51177434 0.91090082 -29.322510 52.190773
    Oben rechts KachelX + 1 54861 KachelY 43182 -0.51172640 0.91090082 -29.319763 52.190773
    Unten links KachelX 54860 KachelY + 1 43183 -0.51177434 0.91087143 -29.322510 52.189089
    Unten rechts KachelX + 1 54861 KachelY + 1 43183 -0.51172640 0.91087143 -29.319763 52.189089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91090082-0.91087143) × R
    2.9390000000018e-05 × 6371000     		dl = 187.243690000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91090082-0.91087143) × R
    2.9390000000018e-05 × 6371000     		dr = 187.243690000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51177434--0.51172640) × cos(0.91090082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613034299806049 × 6371000     		do = 187.236454663521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51177434--0.51172640) × cos(0.91087143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613057519295757 × 6371000     		du = 187.243546493348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91090082)-sin(0.91087143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613034299806049-0.613057519295757)×R²
    abs(-0.51172640--0.51177434)×2.32194897084037e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32194897084037e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32194897084037e-05×40589641000000     		ar = 35059.5086263941m²