Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54860 / 14163
↖ ↑ ↗
← N 80.259433°
W 29.322510°		 ← 51.67 m → N 80.259433°
W 29.319763°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.258969°
W 29.322510°		 ← 51.68 m →
2 670 m²		 N 80.258969°
W 29.319763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418552398681641 y=0.108058929443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418552398681641 × 217)
    floor (0.418552398681641 × 131072)
    floor (54860.5)     		tx = 54860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108058929443359 × 217)
    floor (0.108058929443359 × 131072)
    floor (14163.5)     		ty = 14163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54860 / 14163 ti = "17/54860/14163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54860/14163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54860 ÷ 217
    54860 ÷ 131072     		x = 0.418548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14163 ÷ 217
    14163 ÷ 131072     		y = 0.108055114746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.16290283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51177434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108055114746094 × 2 - 1) × π
    0.783889770507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.46266234418114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51177434} λ = -0.51177434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46266234418114))-π/2
    2×atan(11.7360152960137)-π/2
    2×1.48579385021192-π/2
    2.97158770042383-1.57079632675     		φ = 1.40079137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51177434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40079137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.259433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54860 KachelY 14163 -0.51177434 1.40079137 -29.322510 80.259433
    Oben rechts KachelX + 1 54861 KachelY 14163 -0.51172640 1.40079137 -29.319763 80.259433
    Unten links KachelX 54860 KachelY + 1 14164 -0.51177434 1.40078326 -29.322510 80.258969
    Unten rechts KachelX + 1 54861 KachelY + 1 14164 -0.51172640 1.40078326 -29.319763 80.258969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40079137-1.40078326) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40079137-1.40078326) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51177434--0.51172640) × cos(1.40079137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16918723440646 × 6371000     		do = 51.6741362671127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51177434--0.51172640) × cos(1.40078326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169195227486555 × 6371000     		du = 51.6765775595155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40079137)-sin(1.40078326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16918723440646-0.169195227486555)×R²
    abs(-0.51172640--0.51177434)×7.99308009449828e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.99308009449828e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.99308009449828e-06×40589641000000     		ar = 2670.00419791898m²