Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54859 / 14164
↖ ↑ ↗
← N 80.258969°
W 29.325257°		 ← 51.68 m → N 80.258969°
W 29.322510°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.258504°
W 29.325257°		 ← 51.68 m →
2 670 m²		 N 80.258504°
W 29.322510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418544769287109 y=0.108066558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418544769287109 × 217)
    floor (0.418544769287109 × 131072)
    floor (54859.5)     		tx = 54859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108066558837891 × 217)
    floor (0.108066558837891 × 131072)
    floor (14164.5)     		ty = 14164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54859 / 14164 ti = "17/54859/14164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54859/14164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54859 ÷ 217
    54859 ÷ 131072     		x = 0.418540954589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14164 ÷ 217
    14164 ÷ 131072     		y = 0.108062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418540954589844 × 2 - 1) × π
    -0.162918090820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.51182228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108062744140625 × 2 - 1) × π
    0.78387451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46261440728152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51182228} λ = -0.51182228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46261440728152))-π/2
    2×atan(11.7354527213106)-π/2
    2×1.48578979496047-π/2
    2.97157958992094-1.57079632675     		φ = 1.40078326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51182228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.325257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40078326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.258969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54859 KachelY 14164 -0.51182228 1.40078326 -29.325257 80.258969
    Oben rechts KachelX + 1 54860 KachelY 14164 -0.51177434 1.40078326 -29.322510 80.258969
    Unten links KachelX 54859 KachelY + 1 14165 -0.51182228 1.40077515 -29.325257 80.258504
    Unten rechts KachelX + 1 54860 KachelY + 1 14165 -0.51177434 1.40077515 -29.322510 80.258504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40078326-1.40077515) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40078326-1.40077515) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51182228--0.51177434) × cos(1.40078326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169195227486555 × 6371000     		do = 51.6765775595155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51182228--0.51177434) × cos(1.40077515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169203220555521 × 6371000     		du = 51.6790188485193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40078326)-sin(1.40077515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169195227486555-0.169203220555521)×R²
    abs(-0.51177434--0.51182228)×7.9930689661778e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.9930689661778e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.9930689661778e-06×40589641000000     		ar = 2670.13033667876m²