Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54858 / 17634
↖ ↑ ↗
← N 78.506981°
W 29.328003°		 ← 60.84 m → N 78.506981°
W 29.325257°		 →
↑
60.84 m
↓
↑
60.84 m
↓
N 78.506434°
W 29.328003°		 ← 60.85 m →
3 702 m²		 N 78.506434°
W 29.325257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418537139892578 y=0.134540557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418537139892578 × 217)
    floor (0.418537139892578 × 131072)
    floor (54858.5)     		tx = 54858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134540557861328 × 217)
    floor (0.134540557861328 × 131072)
    floor (17634.5)     		ty = 17634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54858 / 17634 ti = "17/54858/17634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54858/17634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54858 ÷ 217
    54858 ÷ 131072     		x = 0.418533325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17634 ÷ 217
    17634 ÷ 131072     		y = 0.134536743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418533325195312 × 2 - 1) × π
    -0.162933349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51187021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134536743164062 × 2 - 1) × π
    0.730926513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29627336559993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51187021} λ = -0.51187021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29627336559993))-π/2
    2×atan(9.93708149715613)-π/2
    2×1.47050081385012-π/2
    2.94100162770024-1.57079632675     		φ = 1.37020530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51187021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.328003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37020530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.506981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54858 KachelY 17634 -0.51187021 1.37020530 -29.328003 78.506981
    Oben rechts KachelX + 1 54859 KachelY 17634 -0.51182228 1.37020530 -29.325257 78.506981
    Unten links KachelX 54858 KachelY + 1 17635 -0.51187021 1.37019575 -29.328003 78.506434
    Unten rechts KachelX + 1 54859 KachelY + 1 17635 -0.51182228 1.37019575 -29.325257 78.506434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37020530-1.37019575) × R
    9.55000000013584e-06 × 6371000     		dl = 60.8430500008654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37020530-1.37019575) × R
    9.55000000013584e-06 × 6371000     		dr = 60.8430500008654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51187021--0.51182228) × cos(1.37020530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199248541670769 × 6371000     		do = 60.8429391591627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51187021--0.51182228) × cos(1.37019575) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199257900174516 × 6371000     		du = 60.8457968908648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37020530)-sin(1.37019575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199248541670769-0.199257900174516)×R²
    abs(-0.51182228--0.51187021)×9.35850374725322e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.35850374725322e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.35850374725322e-06×40589641000000     		ar = 3701.95692625762m²