Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54858 / 12851
↖ ↑ ↗
← N 80.850581°
W 29.328003°		 ← 48.56 m → N 80.850581°
W 29.325257°		 →
↑
48.61 m
↓
↑
48.61 m
↓
N 80.850144°
W 29.328003°		 ← 48.56 m →
2 360 m²		 N 80.850144°
W 29.325257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418537139892578 y=0.0980491638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418537139892578 × 217)
    floor (0.418537139892578 × 131072)
    floor (54858.5)     		tx = 54858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0980491638183594 × 217)
    floor (0.0980491638183594 × 131072)
    floor (12851.5)     		ty = 12851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54858 / 12851 ti = "17/54858/12851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54858/12851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54858 ÷ 217
    54858 ÷ 131072     		x = 0.418533325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12851 ÷ 217
    12851 ÷ 131072     		y = 0.0980453491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418533325195312 × 2 - 1) × π
    -0.162933349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51187021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0980453491210938 × 2 - 1) × π
    0.803909301757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.52555555648266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51187021} λ = -0.51187021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52555555648266))-π/2
    2×atan(12.4978365894155)-π/2
    2×1.49095258093834-π/2
    2.98190516187667-1.57079632675     		φ = 1.41110884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51187021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.328003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41110884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.850581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54858 KachelY 12851 -0.51187021 1.41110884 -29.328003 80.850581
    Oben rechts KachelX + 1 54859 KachelY 12851 -0.51182228 1.41110884 -29.325257 80.850581
    Unten links KachelX 54858 KachelY + 1 12852 -0.51187021 1.41110121 -29.328003 80.850144
    Unten rechts KachelX + 1 54859 KachelY + 1 12852 -0.51182228 1.41110121 -29.325257 80.850144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41110884-1.41110121) × R
    7.63000000003622e-06 × 6371000     		dl = 48.6107300002308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41110884-1.41110121) × R
    7.63000000003622e-06 × 6371000     		dr = 48.6107300002308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51187021--0.51182228) × cos(1.41110884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159009677276908 × 6371000     		do = 48.5555178429512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51187021--0.51182228) × cos(1.41110121) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159017210195974 × 6371000     		du = 48.5578181104091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41110884)-sin(1.41110121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159009677276908-0.159017210195974)×R²
    abs(-0.51182228--0.51187021)×7.53291906613329e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.53291906613329e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.53291906613329e-06×40589641000000     		ar = 2360.37507677362m²