Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54856 / 43034
↖ ↑ ↗
← N 52.439269°
W 29.333496°		 ← 186.19 m → N 52.439269°
W 29.330749°		 →
↑
186.22 m
↓
↑
186.22 m
↓
N 52.437595°
W 29.333496°		 ← 186.20 m →
34 673 m²		 N 52.437595°
W 29.330749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418521881103516 y=0.328327178955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418521881103516 × 217)
    floor (0.418521881103516 × 131072)
    floor (54856.5)     		tx = 54856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328327178955078 × 217)
    floor (0.328327178955078 × 131072)
    floor (43034.5)     		ty = 43034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54856 / 43034 ti = "17/54856/43034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54856/43034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54856 ÷ 217
    54856 ÷ 131072     		x = 0.41851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43034 ÷ 217
    43034 ÷ 131072     		y = 0.328323364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328323364257812 × 2 - 1) × π
    0.343353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0786761152505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51196609} λ = -0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0786761152505))-π/2
    2×atan(2.94078371410429)-π/2
    2×1.24301711717743-π/2
    2.48603423435485-1.57079632675     		φ = 0.91523791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91523791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.439269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54856 KachelY 43034 -0.51196609 0.91523791 -29.333496 52.439269
    Oben rechts KachelX + 1 54857 KachelY 43034 -0.51191815 0.91523791 -29.330749 52.439269
    Unten links KachelX 54856 KachelY + 1 43035 -0.51196609 0.91520868 -29.333496 52.437595
    Unten rechts KachelX + 1 54857 KachelY + 1 43035 -0.51191815 0.91520868 -29.330749 52.437595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91523791-0.91520868) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dl = 186.224329999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91523791-0.91520868) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dr = 186.224329999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51196609--0.51191815) × cos(0.91523791) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.609601999611756 × 6371000     		do = 186.188141837209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51196609--0.51191815) × cos(0.91520868) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.609625170195642 × 6371000     		du = 186.195218729939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91523791)-sin(0.91520868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609601999611756-0.609625170195642)×R²
    abs(-0.51191815--0.51196609)×2.31705838859009e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31705838859009e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31705838859009e-05×40589641000000     		ar = 34673.4209146584m²