Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54855 / 14398
↖ ↑ ↗
← N 80.149624°
W 29.336242°		 ← 52.24 m → N 80.149624°
W 29.333496°		 →
↑
52.24 m
↓
↑
52.24 m
↓
N 80.149154°
W 29.336242°		 ← 52.24 m →
2 729 m²		 N 80.149154°
W 29.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418514251708984 y=0.109851837158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418514251708984 × 217)
    floor (0.418514251708984 × 131072)
    floor (54855.5)     		tx = 54855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109851837158203 × 217)
    floor (0.109851837158203 × 131072)
    floor (14398.5)     		ty = 14398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54855 / 14398 ti = "17/54855/14398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54855/14398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54855 ÷ 217
    54855 ÷ 131072     		x = 0.418510437011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14398 ÷ 217
    14398 ÷ 131072     		y = 0.109848022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418510437011719 × 2 - 1) × π
    -0.162979125976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.51201402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109848022460938 × 2 - 1) × π
    0.780303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45139717277043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51201402} λ = -0.51201402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45139717277043))-π/2
    2×atan(11.6045489577414)-π/2
    2×1.48483557932821-π/2
    2.96967115865642-1.57079632675     		φ = 1.39887483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51201402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.336242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39887483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.149624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54855 KachelY 14398 -0.51201402 1.39887483 -29.336242 80.149624
    Oben rechts KachelX + 1 54856 KachelY 14398 -0.51196609 1.39887483 -29.333496 80.149624
    Unten links KachelX 54855 KachelY + 1 14399 -0.51201402 1.39886663 -29.336242 80.149154
    Unten rechts KachelX + 1 54856 KachelY + 1 14399 -0.51196609 1.39886663 -29.333496 80.149154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39887483-1.39886663) × R
    8.19999999990273e-06 × 6371000     		dl = 52.2421999993803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39887483-1.39886663) × R
    8.19999999990273e-06 × 6371000     		dr = 52.2421999993803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51201402--0.51196609) × cos(1.39887483) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.171075833549144 × 6371000     		do = 52.2400638164198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51201402--0.51196609) × cos(1.39886663) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.17108391265788 × 6371000     		du = 52.2425308694638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39887483)-sin(1.39886663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171075833549144-0.17108391265788)×R²
    abs(-0.51196609--0.51201402)×8.07910873554252e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.07910873554252e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.07910873554252e-06×40589641000000     		ar = 2729.20030399394m²