Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54854 / 42508
↖ ↑ ↗
← N 53.311186°
W 29.338989°		 ← 182.48 m → N 53.311186°
W 29.336242°		 →
↑
182.53 m
↓
↑
182.53 m
↓
N 53.309544°
W 29.338989°		 ← 182.49 m →
33 309 m²		 N 53.309544°
W 29.336242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418506622314453 y=0.324314117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418506622314453 × 217)
    floor (0.418506622314453 × 131072)
    floor (54854.5)     		tx = 54854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324314117431641 × 217)
    floor (0.324314117431641 × 131072)
    floor (42508.5)     		ty = 42508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54854 / 42508 ti = "17/54854/42508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54854/42508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54854 ÷ 217
    54854 ÷ 131072     		x = 0.418502807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42508 ÷ 217
    42508 ÷ 131072     		y = 0.324310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418502807617188 × 2 - 1) × π
    -0.162994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51206196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324310302734375 × 2 - 1) × π
    0.35137939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10389092445065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51206196} λ = -0.51206196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10389092445065))-π/2
    2×atan(3.01587777698031)-π/2
    2×1.25062602152168-π/2
    2.50125204304336-1.57079632675     		φ = 0.93045572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51206196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.338989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93045572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.311186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54854 KachelY 42508 -0.51206196 0.93045572 -29.338989 53.311186
    Oben rechts KachelX + 1 54855 KachelY 42508 -0.51201402 0.93045572 -29.336242 53.311186
    Unten links KachelX 54854 KachelY + 1 42509 -0.51206196 0.93042707 -29.338989 53.309544
    Unten rechts KachelX + 1 54855 KachelY + 1 42509 -0.51201402 0.93042707 -29.336242 53.309544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93045572-0.93042707) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dl = 182.529149999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93045572-0.93042707) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dr = 182.529149999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51206196--0.51201402) × cos(0.93045572) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.597468605981189 × 6371000     		do = 182.482291108876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51206196--0.51201402) × cos(0.93042707) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.597491579950446 × 6371000     		du = 182.489307950437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93045572)-sin(0.93042707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597468605981189-0.597491579950446)×R²
    abs(-0.51201402--0.51206196)×2.29739692566566e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.29739692566566e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.29739692566566e-05×40589641000000     		ar = 33308.9778774622m²