Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54854 / 16858
↖ ↑ ↗
← N 78.923998°
W 29.338989°		 ← 58.68 m → N 78.923998°
W 29.336242°		 →
↑
58.68 m
↓
↑
58.68 m
↓
N 78.923470°
W 29.338989°		 ← 58.68 m →
3 443 m²		 N 78.923470°
W 29.336242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418506622314453 y=0.128620147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418506622314453 × 217)
    floor (0.418506622314453 × 131072)
    floor (54854.5)     		tx = 54854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128620147705078 × 217)
    floor (0.128620147705078 × 131072)
    floor (16858.5)     		ty = 16858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54854 / 16858 ti = "17/54854/16858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54854/16858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54854 ÷ 217
    54854 ÷ 131072     		x = 0.418502807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16858 ÷ 217
    16858 ÷ 131072     		y = 0.128616333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418502807617188 × 2 - 1) × π
    -0.162994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51206196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128616333007812 × 2 - 1) × π
    0.742767333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33347239970509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51206196} λ = -0.51206196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33347239970509))-π/2
    2×atan(10.3136926894216)-π/2
    2×1.47413997503092-π/2
    2.94827995006183-1.57079632675     		φ = 1.37748362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51206196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.338989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37748362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.923998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54854 KachelY 16858 -0.51206196 1.37748362 -29.338989 78.923998
    Oben rechts KachelX + 1 54855 KachelY 16858 -0.51201402 1.37748362 -29.336242 78.923998
    Unten links KachelX 54854 KachelY + 1 16859 -0.51206196 1.37747441 -29.338989 78.923470
    Unten rechts KachelX + 1 54855 KachelY + 1 16859 -0.51201402 1.37747441 -29.336242 78.923470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37748362-1.37747441) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dl = 58.6769099998836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37748362-1.37747441) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dr = 58.6769099998836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51206196--0.51201402) × cos(1.37748362) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.192110944858581 × 6371000     		do = 58.6756274956287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51206196--0.51201402) × cos(1.37747441) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.192119983297733 × 6371000     		du = 58.678388067595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37748362)-sin(1.37747441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192110944858581-0.192119983297733)×R²
    abs(-0.51201402--0.51206196)×9.03843915162073e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.03843915162073e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.03843915162073e-06×40589641000000     		ar = 3442.98550479118m²