Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54854 / 14150
↖ ↑ ↗
← N 80.265473°
W 29.338989°		 ← 51.64 m → N 80.265473°
W 29.336242°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.265008°
W 29.338989°		 ← 51.64 m →
2 668 m²		 N 80.265008°
W 29.336242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418506622314453 y=0.107959747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418506622314453 × 217)
    floor (0.418506622314453 × 131072)
    floor (54854.5)     		tx = 54854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107959747314453 × 217)
    floor (0.107959747314453 × 131072)
    floor (14150.5)     		ty = 14150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54854 / 14150 ti = "17/54854/14150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54854/14150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54854 ÷ 217
    54854 ÷ 131072     		x = 0.418502807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14150 ÷ 217
    14150 ÷ 131072     		y = 0.107955932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418502807617188 × 2 - 1) × π
    -0.162994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51206196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107955932617188 × 2 - 1) × π
    0.784088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46328552387621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51206196} λ = -0.51206196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46328552387621))-π/2
    2×atan(11.7433312217785)-π/2
    2×1.4858465510493-π/2
    2.9716931020986-1.57079632675     		φ = 1.40089678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51206196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.338989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40089678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.265473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54854 KachelY 14150 -0.51206196 1.40089678 -29.338989 80.265473
    Oben rechts KachelX + 1 54855 KachelY 14150 -0.51201402 1.40089678 -29.336242 80.265473
    Unten links KachelX 54854 KachelY + 1 14151 -0.51206196 1.40088867 -29.338989 80.265008
    Unten rechts KachelX + 1 54855 KachelY + 1 14151 -0.51201402 1.40088867 -29.336242 80.265008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40089678-1.40088867) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40089678-1.40088867) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51206196--0.51201402) × cos(1.40089678) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.169083343064829 × 6371000     		do = 51.6424051773349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51206196--0.51201402) × cos(1.40088867) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.169091336289516 × 6371000     		du = 51.6448465139001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40089678)-sin(1.40088867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169083343064829-0.169091336289516)×R²
    abs(-0.51201402--0.51206196)×7.99322468744701e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.99322468744701e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.99322468744701e-06×40589641000000     		ar = 2668.36469152769m²