Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54852 / 42517
↖ ↑ ↗
← N 53.296414°
W 29.344483°		 ← 182.55 m → N 53.296414°
W 29.341736°		 →
↑
182.53 m
↓
↑
182.53 m
↓
N 53.294772°
W 29.344483°		 ← 182.55 m →
33 321 m²		 N 53.294772°
W 29.341736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418491363525391 y=0.324382781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418491363525391 × 217)
    floor (0.418491363525391 × 131072)
    floor (54852.5)     		tx = 54852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324382781982422 × 217)
    floor (0.324382781982422 × 131072)
    floor (42517.5)     		ty = 42517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54852 / 42517 ti = "17/54852/42517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54852/42517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54852 ÷ 217
    54852 ÷ 131072     		x = 0.418487548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42517 ÷ 217
    42517 ÷ 131072     		y = 0.324378967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418487548828125 × 2 - 1) × π
    -0.16302490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51215784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324378967285156 × 2 - 1) × π
    0.351242065429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.10345949235407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51215784} λ = -0.51215784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10345949235407))-π/2
    2×atan(3.01457691114577)-π/2
    2×1.25049711565881-π/2
    2.50099423131763-1.57079632675     		φ = 0.93019790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51215784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.344483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93019790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.296414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54852 KachelY 42517 -0.51215784 0.93019790 -29.344483 53.296414
    Oben rechts KachelX + 1 54853 KachelY 42517 -0.51210990 0.93019790 -29.341736 53.296414
    Unten links KachelX 54852 KachelY + 1 42518 -0.51215784 0.93016925 -29.344483 53.294772
    Unten rechts KachelX + 1 54853 KachelY + 1 42518 -0.51210990 0.93016925 -29.341736 53.294772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93019790-0.93016925) × R
    2.86500000000744e-05 × 6371000     		dl = 182.529150000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93019790-0.93016925) × R
    2.86500000000744e-05 × 6371000     		dr = 182.529150000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51215784--0.51210990) × cos(0.93019790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597675329995125 × 6371000     		do = 182.545429943386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51215784--0.51210990) × cos(0.93016925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597698299550306 × 6371000     		du = 182.552445436774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93019790)-sin(0.93016925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597675329995125-0.597698299550306)×R²
    abs(-0.51210990--0.51215784)×2.2969555180774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2969555180774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2969555180774e-05×40589641000000     		ar = 33320.5024324179m²