Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54851 / 43031
↖ ↑ ↗
← N 52.444292°
W 29.347229°		 ← 186.13 m → N 52.444292°
W 29.344483°		 →
↑
186.16 m
↓
↑
186.16 m
↓
N 52.442618°
W 29.347229°		 ← 186.14 m →
34 650 m²		 N 52.442618°
W 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418483734130859 y=0.328304290771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418483734130859 × 217)
    floor (0.418483734130859 × 131072)
    floor (54851.5)     		tx = 54851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328304290771484 × 217)
    floor (0.328304290771484 × 131072)
    floor (43031.5)     		ty = 43031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54851 / 43031 ti = "17/54851/43031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54851/43031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54851 ÷ 217
    54851 ÷ 131072     		x = 0.418479919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43031 ÷ 217
    43031 ÷ 131072     		y = 0.328300476074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418479919433594 × 2 - 1) × π
    -0.163040161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51220577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328300476074219 × 2 - 1) × π
    0.343399047851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.07881992594936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51220577} λ = -0.51220577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07881992594936))-π/2
    2×atan(2.94120666067681)-π/2
    2×1.24306094832389-π/2
    2.48612189664777-1.57079632675     		φ = 0.91532557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51220577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.347229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91532557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.444292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54851 KachelY 43031 -0.51220577 0.91532557 -29.347229 52.444292
    Oben rechts KachelX + 1 54852 KachelY 43031 -0.51215784 0.91532557 -29.344483 52.444292
    Unten links KachelX 54851 KachelY + 1 43032 -0.51220577 0.91529635 -29.347229 52.442618
    Unten rechts KachelX + 1 54852 KachelY + 1 43032 -0.51215784 0.91529635 -29.344483 52.442618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91532557-0.91529635) × R
    2.9220000000052e-05 × 6371000     		dl = 186.160620000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91532557-0.91529635) × R
    2.9220000000052e-05 × 6371000     		dr = 186.160620000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51220577--0.51215784) × cos(0.91532557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609532508517972 × 6371000     		do = 186.128084152154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51220577--0.51215784) × cos(0.91529635) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609555672736351 × 6371000     		du = 186.135157624902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91532557)-sin(0.91529635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609532508517972-0.609555672736351)×R²
    abs(-0.51215784--0.51220577)×2.31642183782244e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31642183782244e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31642183782244e-05×40589641000000     		ar = 34650.377948724m²