Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54851 / 17617
↖ ↑ ↗
← N 78.516280°
W 29.347229°		 ← 60.79 m → N 78.516280°
W 29.344483°		 →
↑
60.78 m
↓
↑
60.78 m
↓
N 78.515734°
W 29.347229°		 ← 60.80 m →
3 695 m²		 N 78.515734°
W 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418483734130859 y=0.134410858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418483734130859 × 217)
    floor (0.418483734130859 × 131072)
    floor (54851.5)     		tx = 54851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134410858154297 × 217)
    floor (0.134410858154297 × 131072)
    floor (17617.5)     		ty = 17617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54851 / 17617 ti = "17/54851/17617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54851/17617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54851 ÷ 217
    54851 ÷ 131072     		x = 0.418479919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17617 ÷ 217
    17617 ÷ 131072     		y = 0.134407043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418479919433594 × 2 - 1) × π
    -0.163040161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51220577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134407043457031 × 2 - 1) × π
    0.731185913085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.29708829289347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51220577} λ = -0.51220577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29708829289347))-π/2
    2×atan(9.94518279662299)-π/2
    2×1.47058196797817-π/2
    2.94116393595634-1.57079632675     		φ = 1.37036761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51220577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.347229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37036761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.516280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54851 KachelY 17617 -0.51220577 1.37036761 -29.347229 78.516280
    Oben rechts KachelX + 1 54852 KachelY 17617 -0.51215784 1.37036761 -29.344483 78.516280
    Unten links KachelX 54851 KachelY + 1 17618 -0.51220577 1.37035807 -29.347229 78.515734
    Unten rechts KachelX + 1 54852 KachelY + 1 17618 -0.51215784 1.37035807 -29.344483 78.515734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37036761-1.37035807) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dl = 60.779339999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37036761-1.37035807) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dr = 60.779339999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51220577--0.51215784) × cos(1.37036761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199089483526706 × 6371000     		do = 60.7943688414037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51220577--0.51215784) × cos(1.37035807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19909883253939 × 6371000     		du = 60.7972236748955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37036761)-sin(1.37035807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199089483526706-0.19909883253939)×R²
    abs(-0.51215784--0.51220577)×9.34901268423438e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.34901268423438e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.34901268423438e-06×40589641000000     		ar = 3695.12837140298m²