Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54851 / 14401
↖ ↑ ↗
← N 80.148214°
W 29.347229°		 ← 52.25 m → N 80.148214°
W 29.344483°		 →
↑
52.24 m
↓
↑
52.24 m
↓
N 80.147745°
W 29.347229°		 ← 52.25 m →
2 730 m²		 N 80.147745°
W 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418483734130859 y=0.109874725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418483734130859 × 217)
    floor (0.418483734130859 × 131072)
    floor (54851.5)     		tx = 54851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109874725341797 × 217)
    floor (0.109874725341797 × 131072)
    floor (14401.5)     		ty = 14401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54851 / 14401 ti = "17/54851/14401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54851/14401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54851 ÷ 217
    54851 ÷ 131072     		x = 0.418479919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14401 ÷ 217
    14401 ÷ 131072     		y = 0.109870910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418479919433594 × 2 - 1) × π
    -0.163040161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51220577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109870910644531 × 2 - 1) × π
    0.780258178710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.45125336207157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51220577} λ = -0.51220577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45125336207157))-π/2
    2×atan(11.6028802194399)-π/2
    2×1.48482327718922-π/2
    2.96964655437845-1.57079632675     		φ = 1.39885023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51220577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.347229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39885023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.148214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54851 KachelY 14401 -0.51220577 1.39885023 -29.347229 80.148214
    Oben rechts KachelX + 1 54852 KachelY 14401 -0.51215784 1.39885023 -29.344483 80.148214
    Unten links KachelX 54851 KachelY + 1 14402 -0.51220577 1.39884203 -29.347229 80.147745
    Unten rechts KachelX + 1 54852 KachelY + 1 14402 -0.51215784 1.39884203 -29.344483 80.147745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39885023-1.39884203) × R
    8.20000000012477e-06 × 6371000     		dl = 52.2422000007949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39885023-1.39884203) × R
    8.20000000012477e-06 × 6371000     		dr = 52.2422000007949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51220577--0.51215784) × cos(1.39885023) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17110007084084 × 6371000     		do = 52.2474649651345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51220577--0.51215784) × cos(1.39884203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171108149915063 × 6371000     		du = 52.2499320076398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39885023)-sin(1.39884203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17110007084084-0.171108149915063)×R²
    abs(-0.51215784--0.51220577)×8.07907422309406e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.07907422309406e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.07907422309406e-06×40589641000000     		ar = 2729.58695629641m²