Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54849 / 17619
↖ ↑ ↗
← N 78.515187°
W 29.352722°		 ← 60.81 m → N 78.515187°
W 29.349976°		 →
↑
60.78 m
↓
↑
60.78 m
↓
N 78.514640°
W 29.352722°		 ← 60.82 m →
3 696 m²		 N 78.514640°
W 29.349976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418468475341797 y=0.134426116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418468475341797 × 217)
    floor (0.418468475341797 × 131072)
    floor (54849.5)     		tx = 54849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134426116943359 × 217)
    floor (0.134426116943359 × 131072)
    floor (17619.5)     		ty = 17619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54849 / 17619 ti = "17/54849/17619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54849/17619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54849 ÷ 217
    54849 ÷ 131072     		x = 0.418464660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17619 ÷ 217
    17619 ÷ 131072     		y = 0.134422302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418464660644531 × 2 - 1) × π
    -0.163070678710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51230165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134422302246094 × 2 - 1) × π
    0.731155395507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.29699241909423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51230165} λ = -0.51230165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29699241909423))-π/2
    2×atan(9.94422935986967)-π/2
    2×1.47057242379719-π/2
    2.94114484759439-1.57079632675     		φ = 1.37034852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51230165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.352722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37034852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.515187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54849 KachelY 17619 -0.51230165 1.37034852 -29.352722 78.515187
    Oben rechts KachelX + 1 54850 KachelY 17619 -0.51225371 1.37034852 -29.349976 78.515187
    Unten links KachelX 54849 KachelY + 1 17620 -0.51230165 1.37033898 -29.352722 78.514640
    Unten rechts KachelX + 1 54850 KachelY + 1 17620 -0.51225371 1.37033898 -29.349976 78.514640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37034852-1.37033898) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dl = 60.779339999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37034852-1.37033898) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dr = 60.779339999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51230165--0.51225371) × cos(1.37034852) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.199108191333729 × 6371000     		do = 60.8127666782668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51230165--0.51225371) × cos(1.37033898) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.199117540310153 × 6371000     		du = 60.8156220963093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37034852)-sin(1.37033898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199108191333729-0.199117540310153)×R²
    abs(-0.51225371--0.51230165)×9.34897642379529e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.34897642379529e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.34897642379529e-06×40589641000000     		ar = 3696.2465974149m²