Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54849 / 14947
↖ ↑ ↗
← N 79.888291°
W 29.352722°		 ← 53.62 m → N 79.888291°
W 29.349976°		 →
↑
53.64 m
↓
↑
53.64 m
↓
N 79.887808°
W 29.352722°		 ← 53.63 m →
2 877 m²		 N 79.887808°
W 29.349976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418468475341797 y=0.114040374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418468475341797 × 217)
    floor (0.418468475341797 × 131072)
    floor (54849.5)     		tx = 54849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114040374755859 × 217)
    floor (0.114040374755859 × 131072)
    floor (14947.5)     		ty = 14947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54849 / 14947 ti = "17/54849/14947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54849/14947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54849 ÷ 217
    54849 ÷ 131072     		x = 0.418464660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14947 ÷ 217
    14947 ÷ 131072     		y = 0.114036560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418464660644531 × 2 - 1) × π
    -0.163070678710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51230165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114036560058594 × 2 - 1) × π
    0.771926879882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.42507981487902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51230165} λ = -0.51230165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42507981487902))-π/2
    2×atan(11.3031315413543)-π/2
    2×1.48255501611211-π/2
    2.96511003222423-1.57079632675     		φ = 1.39431371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51230165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.352722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39431371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.888291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54849 KachelY 14947 -0.51230165 1.39431371 -29.352722 79.888291
    Oben rechts KachelX + 1 54850 KachelY 14947 -0.51225371 1.39431371 -29.349976 79.888291
    Unten links KachelX 54849 KachelY + 1 14948 -0.51230165 1.39430529 -29.352722 79.887808
    Unten rechts KachelX + 1 54850 KachelY + 1 14948 -0.51225371 1.39430529 -29.349976 79.887808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39431371-1.39430529) × R
    8.42000000012e-06 × 6371000     		dl = 53.6438200007645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39431371-1.39430529) × R
    8.42000000012e-06 × 6371000     		dr = 53.6438200007645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51230165--0.51225371) × cos(1.39431371) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175567917805594 × 6371000     		do = 53.6229612161218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51230165--0.51225371) × cos(1.39430529) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175576207014214 × 6371000     		du = 53.6254929537985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39431371)-sin(1.39430529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175567917805594-0.175576207014214)×R²
    abs(-0.51225371--0.51230165)×8.28920861978277e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.28920861978277e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.28920861978277e-06×40589641000000     		ar = 2876.60838529719m²