Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54848 / 16709
↖ ↑ ↗
← N 79.002343°
W 29.355469°		 ← 58.25 m → N 79.002343°
W 29.352722°		 →
↑
58.29 m
↓
↑
58.29 m
↓
N 79.001819°
W 29.355469°		 ← 58.26 m →
3 396 m²		 N 79.001819°
W 29.352722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418460845947266 y=0.127483367919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418460845947266 × 217)
    floor (0.418460845947266 × 131072)
    floor (54848.5)     		tx = 54848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127483367919922 × 217)
    floor (0.127483367919922 × 131072)
    floor (16709.5)     		ty = 16709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54848 / 16709 ti = "17/54848/16709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54848/16709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54848 ÷ 217
    54848 ÷ 131072     		x = 0.41845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16709 ÷ 217
    16709 ÷ 131072     		y = 0.127479553222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127479553222656 × 2 - 1) × π
    0.745040893554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.34061499774848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51234958} λ = -0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34061499774848))-π/2
    2×atan(10.3876229634541)-π/2
    2×1.47482366146675-π/2
    2.9496473229335-1.57079632675     		φ = 1.37885100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37885100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.002343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54848 KachelY 16709 -0.51234958 1.37885100 -29.355469 79.002343
    Oben rechts KachelX + 1 54849 KachelY 16709 -0.51230165 1.37885100 -29.352722 79.002343
    Unten links KachelX 54848 KachelY + 1 16710 -0.51234958 1.37884185 -29.355469 79.001819
    Unten rechts KachelX + 1 54849 KachelY + 1 16710 -0.51230165 1.37884185 -29.352722 79.001819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37885100-1.37884185) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dl = 58.2946500007921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37885100-1.37884185) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dr = 58.2946500007921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51234958--0.51230165) × cos(1.37885100) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.190768855574008 × 6371000     		do = 58.2535649987565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51234958--0.51230165) × cos(1.37884185) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.190777837526134 × 6371000     		du = 58.2563077458913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37885100)-sin(1.37884185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190768855574008-0.190777837526134)×R²
    abs(-0.51230165--0.51234958)×8.98195212675756e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.98195212675756e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.98195212675756e-06×40589641000000     		ar = 3395.95112669134m²