Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54847 / 18851
↖ ↑ ↗
← N 77.821585°
W 29.358215°		 ← 64.43 m → N 77.821585°
W 29.355469°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.821006°
W 29.358215°		 ← 64.43 m →
4 150 m²		 N 77.821006°
W 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418453216552734 y=0.143825531005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418453216552734 × 217)
    floor (0.418453216552734 × 131072)
    floor (54847.5)     		tx = 54847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143825531005859 × 217)
    floor (0.143825531005859 × 131072)
    floor (18851.5)     		ty = 18851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54847 / 18851 ti = "17/54847/18851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54847/18851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54847 ÷ 217
    54847 ÷ 131072     		x = 0.418449401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18851 ÷ 217
    18851 ÷ 131072     		y = 0.143821716308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418449401855469 × 2 - 1) × π
    -0.163101196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51239752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143821716308594 × 2 - 1) × π
    0.712356567382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.23793415876232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51239752} λ = -0.51239752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23793415876232))-π/2
    2×atan(9.37394618647465)-π/2
    2×1.46451960741545-π/2
    2.9290392148309-1.57079632675     		φ = 1.35824289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51239752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.358215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35824289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.821585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54847 KachelY 18851 -0.51239752 1.35824289 -29.358215 77.821585
    Oben rechts KachelX + 1 54848 KachelY 18851 -0.51234958 1.35824289 -29.355469 77.821585
    Unten links KachelX 54847 KachelY + 1 18852 -0.51239752 1.35823278 -29.358215 77.821006
    Unten rechts KachelX + 1 54848 KachelY + 1 18852 -0.51234958 1.35823278 -29.355469 77.821006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35824289-1.35823278) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dl = 64.4108100004022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35824289-1.35823278) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dr = 64.4108100004022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51239752--0.51234958) × cos(1.35824289) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210956557673493 × 6371000     		do = 64.4315627353862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51239752--0.51234958) × cos(1.35823278) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210966440141587 × 6371000     		du = 64.4345810955169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35824289)-sin(1.35823278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210956557673493-0.210966440141587)×R²
    abs(-0.51234958--0.51239752)×9.88246809413562e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.88246809413562e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.88246809413562e-06×40589641000000     		ar = 4150.18635296582m²